위 사진이 풀이인데 문제가 뭐나면
복소벡터공간 V에 노름 ll.ll이 주어져있고 모든 x,y∈V에 대해 llx+yll^2+llx-yll^2=2llxll^2+2llyll^2을 만족한다고 하자. 모든 x∈V에 대해 llxll^2=<x,x>를 만족하는 내적 <,>이 V에 존재함을 증명하시오.
(정리 1) 실벡터공간 V에서의 노름 ll.ll이 모든 x,y∈V에 대해 llx+yll^2+llx-yll^2=2llxll^2+2llyll^2을 만족할 때 [x,y]=1/4 × (llx+yll^2-llx-yll^2)은 모든 x∈V에 대해 [x,x]=llxll^2인 V에서의 실내적이다.
(정리 2) 복소벡터공간 V에 대해 실수체 위에서 정의된 V를 고려할 때 [,]가 모든 x∈V에 대해 [x,ix]=0이도록 정의된 실내적이라 하자. <x,y>=[x,y]+i[x,iy]는 V에서의 내적이다.
문제 풀이의 아이디어는 실수체 위에서 정의된 V를 고려하면 ll.ll는 여기서도 당연히 노름의 조건을 만족함. 따라서 (정리 1)에 의해 [x,y]=1/4 × (llx+yll^2-llx-yll^2)는 실벡터공간 V에서의 내적임.
그 다음 [x,ix]=0임을 보여서 (정리 2)를 적용하는 건데...
우리가 체를 실수체로 축소시키면서 노름도 실벡터공간에서의 노름으로 축소시켰잖음? 근데 풀이보면
llx-ixll = ll(-i)(x+ix)ll = l-il llx+ixll
이렇게 빼내버리는데 -i는 실수체에 안속하니까 저렇게 못빼내지 않나??
실벡터공간에서의 노름으로 볼수도있고 동시에 복소벡터공간에서의 노름으로도 볼수있지.
무슨 함수의 정의역축소같은게 아니라 관점의 차이임
근데 문제에서 써먹는 내적 [,]이 나온 정리 1을 보면 실수체 위의 벡터공간에서의 노름이 주어져있다고 가정했을 때 만든 내적이라 저 내적을 계산할 때 나오는 노름은 당연히 실수체 안에서 계산해야 하지 않나요? 노름의 정의 중에 llaxll=lal llxll이다 이게 a∈F에 대해서 성립하는 건데 체가 다른 게 중요하지 않은지...
노름이 일단 fix되면 실벡터공간이든 복소벡터공간이든 값은 같은 값나옴. 스칼라배가 복소수이면 복소노름 성질 이용하면 되고, 스칼라배가 실수이면 아무 성질이나 써도 상관없음.
흠 그런가요... 감사합니다
헷갈리면 문제에서 정의한 복소공간 노름을 ∥·∥로 놓고, 이걸 실벡터공간으로 바꿔서 생각한 노름을 ∥·∥_R 로 놓고 해보셈. 정의역,공역 같고 함수값 같으니까 ∥·∥=∥·∥_R 이잖음. ∥·∥_R로 문제풀다가 복소스칼라배만 나올때 ∥·∥로 놓고 해보셈.