-1. 책 정보



저자: G. Polya 

제목: How to solve it

출판: princeton Science Library.


0. 읽게된 이유


- 안풀리는 문제를 어떻게 풀 수있을까? + 문제를 풀때 어떻게 푸는게 좋을까?

하는 고민중에 내 고민과 똑같은 제목을 한 양서가 있길래 읽게됐어. 

구매결정에 표지에 박혀있는 <콘웨이의 머릿글 추천사>가 큰 영향을 준것같아.




1. 간략한 소개 


이책은 저자가 "나는 풀이를 이해할 수있어, 하지만 어떻게 내가 풀이를 생각해낼까" 하는 독자를 위해 쓰인책이야

하지만 "나는 풀이를 이해할수없어","나는 문제를 풀었어, 근데 풀고나서 무엇을 해야하지?", "나는 문제를 풀지않는 내자신을 이해할 수없어"

이런 독자들에게도 큰도움이 될것같아 


내소감을 간략히 적자면, "이걸 중딩, 아니 고3때라도 읽었더라면.." 이야.

나는 나이키의 정신 ( just do it..)을 가진 선생님들과 공부법으로 무장하여  수학문제를보면 아무생각없이 펜잡고 끄적이다가 말아먹곤 했는데

이책을 읽으면서 천재가아닌이상 저것이 불가능하다는걸 알았어.


이이상의 느낌이나, 책자체에대한 이야기를 할 수도있겠지만 그건이미 다른사람들이 많이 써놓았기때문에 나는 책의 내용에대해 이야기할게.



how to solve it is a wonderful book! -first sentence of forehead

(john h. conway)


"For mathematics education and the world of problem solving

 it marked a line of demarcation between two eras, problem solving before and after polya."

(mathematics magazine) 


this was my math teacher

(john, amazon book buyer)




2. 책의 contents


책은 추천사, 인삿말, 2판을펴내며.. 이런 것들을 제하고 4개의 part로 나뉘어져있어.

  

part 1. in the class

part 2. how to solve it 

part 3. short dictionary of heuristic

part 4. ploblems, hints, solutions




part 1.- in the class (약 30p)


 교사와 학생은 어떻게 질문을 해야하는가?

문제에 어떻게 접근해야 하는가? 에 대한 일반적인 설명과 더불어 구체적인 예시를 문제 4개에 걸쳐 설명하고있어.

학생도 선생도 얻을게 많은 파트야. 교육학에대해는 잘모르지만 교육학과 가까운 내용인 것같아.



part 2. - How to solve it A dialog (4p)


문제를 푸는 방법에대해 알려주는 파트야.

문제를 봤을때, 무엇을 어디서 어떻게 시작해야하는지, 

이해가 안간다면 혹은 더나은 이해를위해선 무엇을 해야하는지,

 아이디어를 찾는법에는 무엇이 있는지.

 마침내 문제를 이해했고, 아이디어도 찾았고 시작점도 알았을때

문제풀이 계획을 세우는 방법(중요함)은 무엇인지

마지막으로 문제를 풀고나서의 하면 좋은 작업에대해 다루고있어

(검토를 한다던가 풀이를 줄이던가

 문제풀이에 사용된 방법과 지식, 그리고 문제자체를 내 머릿속의 일반적 지식으로 만드는 과정같은 다양한)


수험생 시절에 인터넷에서 '수학공부는 구주이배' 라는 이야기를 읽은적이 있어.

문제를 풀때

 1.구하는것은 무엇인가 

 2.주어진것은 무엇인가

 3.이로써 배운(울)것은 무엇인가

이것을 적으면서 하라는 이야기였는데


이것을 훨씬 구체적으로 풀어쓴 느낌이야.


part 3. short dictionary of heuristics (약 200p)


heuristic은 발견, 경험 이런 뜻인데 내가 원서끈이 짧아서 두산백과의

heuristic method를 가져왔어.



[ heuristic method , 發見法 ]

요약 교사의 설명을 최소한도로 줄이고 교사의 지시 없이도 학생들이 독립적으로 학습목표를 달성할 수 있도록 하는 수업의 형태.

발견학습(discovery learning)이라고 한다. 여기에서 강조되는 것은 문제해결의 기술과 학습방법의 학습이다. 교사의 역할은 학생들이 스스로 학습할 수 있도록 여건을 형성해 주는 것이다.

1970년대 이후 학문중심 교육과정의 보급과 함께 발견법이 강조되었는데, 최근의 개념학습에서 보면 개념을 교사가 설명해 주지 않고, 학생들이 어떤 개념의 특징을 스스로 찾아내고 그 공통성을 발견함으로써 개념을 이해하도록 하고 있다.

발견법은 적극적인 학생이 성공의 즐거움을 맛볼 수 있어 자아실현을 촉진하고, 자주적 학습능력 ·창의적 사고력 ·귀납적 사고력 등을 자극하여 최근에 주장되고 있는 고급사고력을 함양하는 장점을 가지고 있다. 그러나 시행착오 때문에 시간이 많이 걸리고, 체계적으로 학습하지 못할 경우도 있는 단점이 있다.

교사가 주로 강의로 수업을 하는 설명적 수업 및 설명적 수업과 발견적 수업의 절충형태라고 할 수 있는 교도학습(敎導學習)과 구분된다. 교사의 적절한 역할과 학생의 자주적 활동을 모두 존중하는 교도학습이 바람직하다는 견해도 있으나, 현대적인 산업사회에서의 학생들의 능동적인 능력의 중요성을 고려할 때 발견학습의 장점은 단점을 능가하는 것으로 평가되고 있다.

[네이버 지식백과] 발견법 [heuristic method, 發見法] (두산백과)


아마 여기에 사용되는것과 같은 의미로 쓰인것같아.

유추, 영감, 정의, 정리, 문제의 결론을 다른곳에 적용하기, 따름정리 같은 "스스로 발견하기"와 관련된 잡동사니 약 60개이상이 박혀있어

재미있는것은 소제목이 '라이프니츠'인 것도 존재해


내용은 각 소제목별로 통일된 형식이 없어.

소제목의 일반적인 뜻, 예시, 경험, 방법론 같은것들이 마구잡이로 나와


책의 머릿말에서 "혼자서 문제를 해결하고 싶은사람"이 볼 코어부분이 이곳이라고 소개하고 나도 동의해.

가장 많은 내용을담고있는 파트야



part 4. problems, hints, solutions (약 20p)


몇가지 문제를 다루고있는 파트야. 대단한 문제들은 아닌데 서술방식은 대단히 중요한것같아.

1. 문제소개

2. 방법론 적용

3. 힌트

4. 풀이 

5. looking back


재밌는점은 풀이가 혹시 너 이렇게 생각하고 푼것이 맞니? 혹은 문제풀이 방법론 적용을 나열하고 시작해.

나는 책을 그냥 쭉 읽어서 문제를 안풀고 풀이를 봤는데.. 왠지모를 죄책감을 느꼈어. ㅋㅋ


책에실린 문제에 흥미가 없더라도, 방법론의 실적용에 더많은 읽을거리를 제공하기에 나름중요한 파트야.


나는 part 2,3 이 part 1,4보다 훨씬 중요하다고 생각하고 

이글도 거기에 집중할 생각이야.


ploblem-solver가 되고싶은친구들은  part 2, 3 부분을 눈여겨서 읽어봤으면 해 ㅋㅋ


3. polya의 문제해결 알고리즘


혹시 파인만의 문제해결 알고리즘을 알고있어?

1. 문제를 쓴다.

2. 열심히 생각한다.

3. 해결을 쓴다. 


여기에 4. 검토한다 를 추가하고 디테일과 정성을 더한 알고리즘이야.



1. 문제를 이해한다.


a.모르는게 무엇인가?

b.주어진 정보는 무엇인가?

c.조건은 무엇인가?

d.조건을 만족하는것이 가능한가?

e.조건은 모르는것을 구하기에-  충분한가? 혹은 불충분한가? 아니면 필요없는가? 아니면 모순적인가?

f. 그림이 필요하면 그리고 적절한 notation을 소개해라 (가져오거나 만들어라)

h.필요한경우에 조건을 여러경우로 분해하라.


저것을 전부 할 수있다면 다음단계로


2. 계획을 고안한다.


"정보와 모르는것의 연결고리를 발견해라. 문제해결을 보조하는 문제들을 고려하라. 즉각적으로 연결고리를 못찾더라도 결국엔 문제풀이 계획을 얻을 수있게된다"


a. 본적이있는 문제인가? 혹은 다른형태로 본적이 있는가? 

b. 관련된 문제를 알고있는가?  유용한 정리를 알고있나?

c. 구해야할것 (모르는것)을 보고, 그것과 비슷한 구해야할것을 가지는 문제에대해 생각해보라

d. 이전에 풀었던 문제중에 비슷한것이 있다면 사용할 수 있는가?

 d.1 그렇다면 그문제의 결과를 사용할수 있는가? 그문제에 적용된 방법을 사용할 수있는가?

 d.2 그렇지않다면 결과와 방법을 이문제에 사용할수있게 보조해주는것을 찾을 수있는가?

e. 문제를 설명할 수있는가? 문제를 다른 방식으로 설명할 수 있는가?

f. 정의로 돌아가보라.


- 문제를 풀수없을거같을경우 


a. 그문제와 관련된 풀 수 있는 문제를 풀어라 

더 일반적인 문제는?, 더 특수한상황의 문제는? 유사한 문제는?


b. 부분이라도 풀수있는경우 

일단 나머지는 버리고 그부분만 풀어봐라.

풀수있는 부분은 원래의 목적과 얼마나 거리가 있나?

푼 부분에서 유용한것을 얻을 수있나?


c. 혹시조건이 잘못된것 아니니? 

더적절한 조건을 찾아보라.

구하는것을 바꿔보라, 아니면 둘다 해봐라.


d. 최선이니?

모든 정보와 조건을 다 사용했니?

문제와 관련된 유용한 개념들을 전부 계획에 넣어봤니?



3. 계획을 실행한다.


문제풀이 계획을 실행한다. 문제를 풀면서 고안한 계획을 단계별로 점검해라. 

그연결이 선명하고 옳은가? 문제를 옳게 풀수 있는가?


4. looking back


조건을 나눴을경우, 모든 결과를 확인했니?

모든 의문을 해결했니?

결과를 다르게도 이끌어낼수있니?

니가 푼걸 가볍게 읽을 수있니?

여기에 쓴 방법, 정보 혹은 얻어낸 것으로 다른 문제를 풀어보겠니?



위의 4단계가 polya의 문제풀이 알고리즘이야.

어느 물리학자와 다르게 사후관리까지 있지. 중요한 내용이라 전부 썼어

인덱스도 내가 마음대로 붙였고, 영어를 잘못해서 좀 다르게 번역했을수도있어.


원문은 2페이지인데 구글링하면 바로나오니까 혹시 원문이 보고싶은 친구들은 원문을 봐.



4. part 1. in the class


part 1은 선생에게 하는 조언이 주류를 이루지만 학생에게도 충분히 도움이 될것같아.


학생을 도울때의 마인드셋, 학생의 멘탈을 안박살내는법, 학생에게 도움이되는 질문을 하는방법등등을 이야기해

일반적인 이야기도하고, 질문의 종류나 방법에대해서도 이야기를 하지. 또 위의 polya 알고리즘으로 학생들의 자연스러운

문제풀이를 유도하는 방법의 예시가 있기때문에 그냥 문제풀때 어떻게 생각해야하는지 가닥도 잡을수있어.


인상적인것은 최악의 질문 (조언)이었어


최악의 질문의 예시가 " 피타고라스 정리를 써보는게 어때?" 였어.



학생이 문제에 대한 질문을 했을때

(공간속 삼각형을 찾아 피타고라스정리로 풀 수있는 문제.)



저렇게 답변을 할경우  다음과 같은 결과를 얻는다해.

1. 유일하게 도움되는경우

학생이 모든 궁금증을 다해결했고 삼각형도찾았는데 이상하게 피타고라스정리가 안떠오른 경우 (아 ~ 맞다!)

2. 학생이 공포를 갖게되는경우

학생이 문제는 다 이해했는데 자신은 도저히 피타고라스정리를 떠올릴 수 없을거 같다고 느낄때 (저걸 어케 생각해 ㅅㅂ재능 ㅈ망겜이네..)

3. 수학이 노동이되는경우

문제는 대강 이해했는데 스스로의 노력없이 해결법을 바로 알게되는 상황이 반복할경우.. 이후 학생은 그저 계산기로 전락할 확률이 큼 (귀찮고 짜증나는 과목이야)

4. 수학이 미지의 세계가되는경우

학생이 문제자체를 이해못해서 물어봤는데 뜬금없이 해결법을 제시하면 (시이팔.. 뭔소린지도 모르겠는데 저걸 쓸 생각을하네)


올바른 질문(조언)법은 

polya 알고리즘 1.2. 단계에있는 질문들을 다듬어서 사용하여 학생이 어느정도수준으로 이해하고있는지 선생 스스로 점검하고,

나중에 스스로 아 이거 피타고라스네! ㅋㅋ 하게 깨닫게 하는게 포인트야.



뭔가 유대인 교육법이랑 비슷하다는생각을 했어.


유대인부모는 아이에게 질문을받으면 같이 질문하면서 결론을 도출해.

유대인 부모와 자녀가 대화하는걸 보면 상당히 이상해보일수도 있다더라.


그냥 내가 즉석에서 예시를들어보자면 이런식이야.


ㅅ- 사과는 왜떨어져요?

ㅁ-그러게? 그런데 사과는 꼭 떨어지는걸까? 책상에선 가만히있는데?

ㅅ-그러네요. 그러면 공중에 놓은 사과는 왜 바닥으로 떨어져요?

ㅁ-글쎄? 근데 사과만 떨어지는걸까? 아니면 공중에서만 떨어지는걸까?

ㅅ-다 떨어지죠! 또 물속에서도 떨어지죠.

ㅁ- 그런데 물속에서는 안떨어지는것도 있지않아?

ㅅ- 여보쇼 





point는 간접적이고 자연스러워.


이 part를 읽으면 학생들도 좋은 질문을 하는법을 얻을수있을거라 생각해

"피타고라스 정리를 사용해보렴" 이 아니라 본인의 흥미를 잃지않고 사고력을 증진시키는 답변을 받는 질문을 할 수있을거야.


 내가 문제의 이해의 어느정도의 단계에있고

그다음단계로 넘어가는데 모르는것이 무엇일까 숙고하는 과정에서도 얻는게 있을테고..

아무튼 배우는 사람에게도 중요한 파트야.



5. part 2 how to solve it


4p로 이루어진 파트야. 


1. 문제에 익숙해지기

2. 더 나은 이해를 위한 활동들

3. 도움이되는 아이디어를 찾기위한 활동들

4. 계획의 고안과 실행

5. looking back


polya 문제풀이 알고리즘의 디테일한요소들을 풀어서 서술한 파트야.


1. 문제에 익숙해지기


문제를 풀고싶은데 단순히 무엇을 해야할지도 모르겠을때. 

일단 문제를 외우라고해. 단순히 외우는 정도가아니라 언제든지 그문제를 떠올리고싶으면 한큐에 떠올릴 수있을정도로 외우는게 좋데.



갑자기 화장실이 급해서 나머지는 똥싸고 천천히 쓸게.