[일반] 참인 명제는 무한할까

[익명(39.7)]

참인 명제들을 모두 모아놓은 집합에서 다른 명제들에 의해 내포되는 명제를 모두 소거시키면 남아 있는 참인 명제는 무한할까

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[익명(143.248)]

유한 공리화가 가능하냐? 하는 문제라고 할 수 있겠는데 묻는 문제가 좀 더 명확히 어떤 의미인지에 따라 달라짐

[익명(220.117)]

페아노 공리계만 해도 귀납법때문에 공리는 무한개인데 이걸 유한하게 줄일수있나?

[익명(143.248)]

불가능하다고 위키백과에나옴 Czesław Ryll-Nardzewski proved that Peano arithmetic cannot be finitely axiomatized and Richard Montague proved that ZFC cannot be finitely axiomatized.[1]
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema
증명은모르겠다

[익명(143.248)]

저분야에서는 고전적인 결과일것같은데

[익명(122.34)]

산술체계를 갖는 공리체계에서는 증명 불가능 하지만 참인 명제가 있지 않냐. 그러면 그거 공리로 넣어도 또한 증명 불가능하지만 참인 명제가 있고 이걸 무한히 반복 가능하니까 적어도 가산개 정도는 남지 않을까

[익명(143.248)]

어차피 모든 명제의 개수 (사실 수리논리학에서는 명제라는 말을 안 쓰고 formula 라고 부르긴하는데) 는 셀 수 있으니 비가산개가 남는 상황은 생각 안해도됨