<몬티홀 딜레마>


 "당신이 한 게임 쇼에 참여하여 세 문들 중 하나를 고를 기회를 가졌다고 생각해봐라. 한 문 뒤에는 자동차가 있으며, 다른 두 문 뒤에는 염소가 있다. 당신은 1번 문을 고르고, 문 뒤에 무엇이 있는지 아는 사회자는 염소가 있는 3번 문을 연다. 그는 당신에게 "2번 문을 고르고 싶습니까?"라고 묻는다. 당신의 선택을 바꾸는 것은 이득이 되는가?"


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 답과 풀이는 아래쪽에 있습니다.







































 정답은 바꾸는 것이 유리하다 입니다. 답은 간단하게 나오지만 그 이유를 설명하는것은 까다롭습니다. 왜냐하면 이 문제는 조건부확률이라는 개념을 다루고 있고, 조건부확률을 알고 있다하더라도 우리의 직관과는 한참 동떨어진 사고방식을 하기 때문입니다. 일반인들은 이 문제의 답을 이해하려해도 90%는 실패합니다.


 정말 많은 사람들이 이 문제의 답으로 '바꾸든, 바꾸지 않든 똑같다.'라고 답합니다. 왜냐하면 사회자가 문을 하나 여는 순간 선택지가 2개로 줄어든다고 생각하기 때문입니다. 확률에 대한 직관이 얼마나 올바른 사고를 방해하는지 잘 알 수 있습니다. 이런 직관에 의한 오류는 수학자들도 다르지 않다고 생각합니다.


 이 글은 몬티홀 딜레마를 수학적으로 이해하고, 사고실험으로 이해하는 두가지 방법을 소개하는 글입니다. 수학적으로 이해하는 방식은 논리적인 사고에 강한 사람에게 직관과 다를바없는 확신을 제공할것이고, 사고실험으로 이해하는 방식은 계량적인 사고에 강한사람에게 확신을 제공합니다. 먼저 수학적인 방식으로 설명해보겠습니다.


 수학적으로 이해하는 방식은 가정에서 출발합니다. 가정에서 결론으로 이르는 사고를 따라가면서 유, 불리함을 깨닫게 됩니다. 먼저 바꾸었을때 자동차가 나오는 상황을 생각해봅시다. 바꾸었을때 자동차가 나왔다면 내가 처음에 고른 선택지는 무엇이었을까요? 염소입니다. 다시말해 내가 처음에 염소를 골랐다면 바꾸었을때 자동차가 나오게 됩니다. 그런데 내가 처음에 염소를 고를 확률이 얼마일까요? 66.66...%입니다. 그러면 바꾸었을때 66.66...%확률로 자동차를 얻게 됩니다. 이제 바꾸지 않았을때 자동차가 나오는 상황을 생각해봅시다. 처음에 자동차를 골라야 바꾸지 않았을때도 자동차가 나오기 때문에 33.33...%확률로 바꾸지 않았을때 자동차를 얻게 됩니다.


 종합하면 바꾸었을때 펼쳐지는 상황이 나에게 2배나 유리해집니다. 선택을 바꾸지 않는다는것은 사회자가 문을 하나 열어준 상황을 고려하지 않는다는 것을 전제로 하는 상황입니다. 하지만 선택을 바꾸게 된다면 사회자가 문을 하나 열어준 상황을 고려하는 상황이 됩니다. 새로운 조건이 추가되는것은 조건부 확률개념으로 접근가능합니다.


 이 설명으로 이해하는 사람은 50%정도입니다. 나머지 50%는 이 설명이 무엇을 의미하는지 이해조차 못합니다. 이것은 눈에 보이는 것만을 이해하는 인지구조로 인해 벌어지는 일입니다. 물론 더 극단적인 예시를 들어서 깨닫게 할 수 도 있습니다. 예를 들어 문의 개수를 1000개로 늘린다던가 하는 방식입니다. 하지만 위 설명을 이해하지 못하면 문이 1000개라도 상황은 똑같습니다.


 정말 많은 글과 영상들이 조건부확률을 설명하듯이 설명하기 때문에 오히려 혼란만 더 늘어납니다. 설명이 맞고 틀리고를 떠나서, 설명의 시작은 단순한것에서 출발해야합니다. 그래서 저는 위 방식처럼 가정에서 결론으로 이르는 설명을 좋아합니다.


 두 번째 방식은 사고실험으로 이해하는 방식입니다. 위 설명도 사고실험이긴 하지만 이쪽은 수학적이라기보단 통계적인 접근을 하기 때문에 더 사고실험에 가깝습니다. 시작은 이러합니다. 99명의 사람이 이 퀴즈쇼를 한다고 생각해봅시다. 그리고 99명의 사람들이 자신의 선택을 바꾸었다고 해봅시다. 어떤일이 벌어질까요? 먼저 99명의 사람중에 33명은 자동차를 골랐을것이고, 66명의 사람들은 염소를 골랐을 것 입니다. 그런데 모두가 선택을 바꾸었기 때문에 결국 33명은 염소를 얻게 되고, 66명은 자동차를 얻게 됩니다. 선택을 바꾸는 상황에서는 99명중에 66명이 자동차를 얻게 됩니다. 이제 반대로 99명이 선택을 그대로 유지했다고 해봅시다. 그러면 33명이 자동차를 얻게되고, 66명이 염소를 얻게 됩니다. 결국 선택을 바꾸는 쪽이 2배나 더 유리해짐을 알 수 있습니다.


 이 설명은 확률이라는 추상적인 개념을 구체적으로 이해할 수 있어서 거의 대부분이 납득할 수 있게 됩니다. 게다가 확률의 원시적인 이해방식인 독립시행까지 붙어있어 강력한 확신을 심어줄 수 있습니다.