<문제>


원탁에 10명의 손님자리가 이름표와 함께 마련되었다. 초대된 10명의 손님이 와서는 이름표를 확인하지않고 않아서 제자리에 않은 사람이 한 명도 없었다. 이때 이름표가 놓인 원탁을 알맞게 회전시키면 적어도 2명의 손님은 제자리에 앉게 된다. 단 각자리 사이의 간격은 동일하다.






















 이 글은 수학의 놀라움을 어떻게 전달해야할지 고민하는 사람들에게 도움이 되고자 쓴 글입니다. 다른사람을 교육하는 일을 하다보니 수학이 어떤것인지 설명해야하는 순간이 생깁니다. 수학을 어디에 쓰는지, 대학교를 가면 어떤 수학을 배우는지 궁금해하는 사람들이 많습니다. 그런 상황에서 비둘기집 원리(디리클레 원리)는 중학생, 고등학생한테 아주 많은 이야깃거리를 제공합니다. 


 비둘기집 원리는 진입장벽이 미친듯이 낮기 때문에 누구나 쉽게 배울 수 있습니다. 사실 배운다기 보단, 우리가 일상적으로 이용하던 사고방식을 의식적으로 되짚어본다에 가까울 것입니다. 그만큼 익숙한 원리입니다.


 비둘기집 원리를 이해시키는 방식은 단순합니다. 몇 가지 질문만 하고나면 듣는사람은 바로 그 원리를 알 수 있게 됩니다. 예를 들어 "사람이 8명 모이면 그중에 같은 요일에 태어난 사람이 적어도 두 사람이 있다. 왜그럴까?", "사람이 3명 모이면 그 중에 성별이 같은 사람이 두 사람이 있다. 왜그럴까?"와 같은 질문을 하면 됩니다. 여건이 된다면 대답에 대한 이유까지 물어보면 됩니다.


 하지만 비둘기집 원리를 안다고 해서 위 문제를 풀 수 있다는 보장이 없습니다. 진짜목적은 위 문제의 풀이를 이해시키는 것입니다. 수학을 궁금해 하는 사람들에게 위 문제를 던져줬지만 정답자는 단 한명이었습니다.


 더 절망적인 상황은 이 문제가 대체 무슨 상황인지 이해하지 못하는 사람이 많았다는 것입니다. 수학문제는 보통 그 답으로 숫자를 요구하지 현상에 대한 이유를 묻지 않습니다. 그러나 이 문제는 현상이 벌어지고 그 이유를 되묻고 있습니다. 그리고 중학생부터 고등학생까지 예외없이 특정 상황을 가정하여 그 현상을 설명하려 했습니다. 예를 들어 이런식으로 사람이 앉아있으면 이렇게 된다. 이런식이었습니다.


 다행히 설명을 더 붙이면 문제가 무엇을 묻는지, 어떤 답을 요구하는지 이해시킬 수 있습니다. 왜냐하면 앞서 비둘기집 원리의 간단한 예시를 문제로 냈기 때문에 그 문제를 바탕으로 다시 설명하면 되기 때문입니다.


 이제 해답을 설명하는 차례인데 해답을 이해한 사람들 중에는 상당히 놀란 표정을 지은 사람들도 있었습니다. 바로 이것이 비둘기집 원리를 설명하는것으로 끝내지 않고, 어려운 문제를 제시한 이유입니다. 어려운 만큼 깊은 수학적 통찰을 제공하기 때문입니다. 알고나면 재밌고, 신기한 그런 통찰말입니다. 수잘갤러라면 매일매일 느끼고 있을것이라 생각합니다.


 해답은 다음과 같습니다. 10명의 사람이 앉았는데 모두 자기이름표가 아닌 상황이 되었다고 가정합니다. 이제 또 한명의 인물이 들어와 10명에게 다음과같은 질문을 합니다. "당신 이름표가 나오려면 시계방향으로 몇 번 돌려야합니까?" 이 질문을 들었을때 10명이 대답할 수 있는 숫자는 정해져있습니다. 10번 돌리면 다시 원상복귀 되고, 그렇다고 안 돌릴 수도 없습니다. 따라서 1부터 9까지의 숫자가 나와야합니다. 10명의 사람에게 물었으니 총 10개의 숫자가 생깁니다. 그런데 1부터 9까지 숫자가 10개 있으면 무조건 똑같은 숫자가 2개이상 있어야합니다. 그 숫자만큼 돌리면 적어도 두사람은 자기 이름표가 나옵니다.