[일반] 위수가 짝수인 군의 부분군에 대한 질문

[익명(180.70)]

만약 위수가 짝수인 유한군 G가 있으면 [G:H]=2를 만족하는 G의 부분군 H가 항상 존재하는 게 맞음?

위수가 4,6,8,10,12에선 맞는 거 같긴 한데 이게 일반적으로 되는 지 모르겠음

[익명(175.223)]

ㄴㄴ 반례 A_5

[익명(180.70)]

ㅈ됐네

[익명(180.70)]

그럼F의 갈루아 확장체 E에 대해 G=Gal(E/F)의 크기가 짝수면 [G:H]=2인 부분군 H

[익명(180.70)]

이건 맞음?

[익명(175.223)]

갈루아그룹이 A5가 될 수가 있는데 ㅋㅋ

[익명(180.70)]

https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=math&no=22107&_rk=eYK&page=1

[익명(180.70)]

이거 때매 그런 건데 이 명제 자체가 틀린 건가 그럼

[익명(180.70)]

아 ㅋㅋ 그럼 Gal(E/F)=A_5인 갈루아 확장 E/F가 뭐가 있는지 예시좀 이거 쓰면 과제 반례 생겨서 조교 클레임 걸 수 있을 듯

[익명(175.223)]

x^5+20x+16의 갈루아그룹 ㅇㅇ 근데 나같으면 m이 홀수인게 문제의도냐고 먼저 물어보겠음

[익명(180.70)]

그런 거 없고 그냥 [E:F]=|Gal(E/F)|가 짝수라고만 나와있음

[익명(180.70)]

근데 m이 홀수면 H가 확실히 존재함?

[익명(175.223)]

그건 그냥 실로우잖아

[익명(175.223)]

아 아니네

[익명(180.70)]

그럼 본문제에서 m이 홀수거나 G가 순환군이거나 해야 하는 건가

[익명(220.121)]

위수가 2*홀수면 참임. 즉, 인수 2의 중복도가 1인 경우는 항상 인덱스 2짜리 부분군이 있음