내 풀이 올림

1. 테일러 전개를 통해서 답이 1임을 보일 수 있음

2. mod 16과 mod5를 통해서 가능한 뒤의 4자리가 0000임을 보임

3. 대각화 후 ln을 씌워 젠센 부등식 / 다항식으로 할 경우 tr(Z) = 0 일때랑 tr(Z)<0 나눠서

4. 1/2 \int_0^\pi \frac{\cos^x}{1+\cos^{nx}}dx 을 계산하면 되는 문제

이는 1/2 \sum_{k=0}^{n-1} \int_{{k\pi}/{n}}^{{(k+1)\pi}/{n}} \frac{\cos^x}{1+\cos^{nx}} dx이고, 

cos{nx}의 주기성으로 인해서 

1/2  \int_{0}^{{\pi}/{n}}\frac{ \sum_{k=0}^{n-1}\cos^(x+{k\pi}/{n}}{1+\cos^{nx}} dx

이 됨.

여기서 nx = y로 치환적분

1/2  \int_{0}^{\pi}\frac{1/n \sum_{k=0}^{n-1}\cos^({(y+k)\pi}/{n}}{1+\cos^{y}} dy

=

1/4  \int_{0}^{\pi}\frac{1}{1+\cos^{y}} dy =  \pi/(4\sqrt{2})


5. 그냥 모든 실례를 잘 잡을 수 있다. n(A)는 0 1 2020^2-1만 아니면 됨.

6. (x-y)^3는 x=y를 기준으로 대칭이라 넓이 구하는 문제. 답은 8/9

7. 못품

8. tridiagonal 행렬에 대해서 맨 아래행부터 가우스 방법으로 하삼각행렬을 만듬.

claim) a_{k+1, m-k} + a_{k-1, m-k+2} = a_{1,m-k} a_{k, m+1-k}

pf) by 귀납(m,k에 대한 귀납)

이를 증명하면 이 가우스 방법으로 만든 하삼각행렬의 대각선의 k번째 성분이 a_{m-k+1, k}/ a_{m-k, k+1} 임을 보일 수 있음.

따라서 이를 다 곱하면 a_m,1 이 나온다. 


7번 풀이 자세하게 해서 추가 부탁.