실수전체에서 연속인 두 함수 f g에 대해
f(x)+g(x)가 다항식,
f(x)g(x)가 다항식이면
f(x)와 g(x)는 각각
실수전체의구간을 유한한 혹은 무한한 개수(가산,혹은 비가산)의 구간으로 쪼개서
구간에따라 정의된, 각 구간에서는
다항함수로만 나타낼수잇다?..
표현을 어떻게할지몰라서이렇게합니다..
이게맞는지궁금해요
이걸보고생각이났습니다ㅡ..
참이 아닐거같다는 생각이들기도하네요..
다항함수의 일부긴 해도 각점마다 다항함수를 갈아타몀
구간을 어떻게쪼개도 다항함수로표현이안될수도잇으니..?
- dc official App
안됨. f(x)+g(x)=P, f(x)g(x)=Q로 두면 f g가 식 T^2 - PT + Q =0를 만족해야하는걸 아는데, 저 식을 근의공식으로 푼 애를 a, b라고 두면 f g는 각 부분에선 a 또는 b형태를 지니게 됨..
그러면 구간을 쪼개서 각 구간에서 (다항식)^실수+다항식 꼴로 만들수있다는 참인가요? 구간이 병리적으로나오진않는거같은데 - dc App
가장 간단한 예로 f+g=0, fg=-x^2-1 로 두면 연속함수 f g는 sqrt x^2+1, -sqrt (x^2+1)이거나 순서바꾼거 가 됨. 물론 지금은 저 두 그래프가 안만나서 그런데 만나면 교차점에서 함수 순서 바꿔서 섞어주는 경우도 있고. 아무튼 다항함수는 아닐 수 있음
다항식일조건은 너무 약하고 아마 f + g = h1 + h2 , fg = h1h2 (h1, h2는 다항식)인걸 말하는 것 같은데 여기서 "모든 x에 대해 f = h1 또는 f = h2" (g도 대칭적으로 마찬가지)이고 연속이며 h1 - h2는 다항식이라 = 0이 유한 실근을 가지니까 너말대로 h1 - h2 = 0 인 x가 유한하지
저 모든 x에대해 f=h1 또는 h2 라는게, 그냥 증명없이바로 할수있는것은 아니고 근계수관계로인해 알아낸다음에서야할수잇는소리맞나요?처음부터 그렇게확정한게 맞다는 보장을 못하는거같아서 (충분조건은 되지만) - dc App
그럼 그 x들로 나눠진 각 구간에서는 "모든 x에 대해 f(x) = k(x)" 인 k가 될 수 있는 것은 h1, h2중 하나(의 일부) 겠지 (어떤 x에서는 h1 이고 어떤 x에서는 h2가 아니라)
ㅇㅇ 증명없이는 아닌데 그냥 합차 이차방정식놓고 근의 공식 쓰면 바로 나옴
합차가 아니라 합곱
윗댓에서도 써놓았지만 '각 x에 대해 "f(x),g(x)는 T에 관한 방정식 T^2 - (h1(x)+h2(x))T + h1(x)h2(x) = (T - h1(x))(T - h2(x)) = 0" 을 만족함' 이니까 '각 x에 대해 "f(x) = h1(x) 또는 f(x) = h2(x)"' 고 근의 공식을 써도 같은 결과를 얻음.
굳이 근의 공식 안써도 되요. x를 고정시켜놓고 생각하면 f,g는 u^2-(h1+h2)u+h1h2=0의 해인데 그럼 당연히 h1 h2의 permutation이겠져
비가산으로 쪼개면 그냥 점마다 상수함수로 정의해버리면 되는거아님?
그거는 언어적으로 잘 정의해줄수가없지않나요? - dc App
연속이래잖아
그러네 연속이 깨질듯
연속이 아니라고 해도 그거를 점마다 상수함수로 정의를 어떻게 잘정의해줌? 언어적표현이가능함? - dc App
함수 f가 주어졌을때 마다 점마다 f(x)라는 상수함수로 정의하고 모든점을 이어붙이면 f(x)가 되잖아
언어적표현이란게 뭔진 모르겠지만 비가산집합을 X라고 하면 X를 이용해서 정의가능하죠. X에서 h1 X 여집합에서 h2 이런식으로.
그거는 너무 대충 말로넘기는거아님? 점마다상수니까이어붙인다는걸 표현이라할수잇나 상수변하는걸 각점마다정의를 수식으로해줄수가잇음? - dc App
뭘 원하는지 모르겟음 비가산개의 인덱스는 맘에 안드나봄?
110.70님이 써주신 버젼이 좋은데 네 맞아요 사실 당연해요. 일반적으로 n개에서도 되요. 왜 되냐 굳이 이유를 댄다면 비에타공식..