모듈라이는 어떤 수학적 대상 위에서 정의되는 "특정 조건을 만족하는 수학적 대상들의 모임"임.
특정 조건은 대수적 방정식이 될 수도 있고, PDE가 될 수도 있고 상황에 따라 다름.
대체로 수학에서 (co)homology 구조는
특정 조건을 만족하는 degree가 정의되는 수학적 대상들 + 적절한 동치류
형태로 나타남. 따라서 chain complex가 먼저 나오게 됨.
이런 관점에서 보면 위상공간에서 정의되는 singular homology를 다음과 같이 이해할 수 있음
1. degree가 정의되는 수학적 대상들 = 위상공간으로 가는 n-simplex의 continuous map의 formal sum
2. 특정 조건 = n-simplex들의 formal sum의 "boundary"가 0이어야 한다.
3. 동치류 = 두 formal sums of n-simplices의 차이가 어떤 formal sum of (n+1)-simplices의 boundary면 관계를 준다.
2번은 위상공간을 n-simplex(n차원 빌딩블럭)으로 얼마나 잘 조합할 수 있냐에 대한 정보이고,
3번은 이 목적에 의미없는 것들을 속아내는 것임.
이 철학에 정확히 부합하는게 (정의 가능할 경우) simplicial/cellular homology이고,
당연히 singular homology와 isomorphic함.
singular cohomology는 위의 chain complex에서 dual을 취한 다음 유도된 동치류로 나눠준 거임.
모듈라이 관점에서 생각한다면 "특정 조건을 만족하는 degree가 정의되는 수학적 대상들 + 적절한 동치류"만 주어지면 되므로
chain complex에 다양한 대수적 연산들을 취하여 새로운 모듈라이를 얻는다는 관점이 매우 자연스러워짐.
결론 : 모듈라이를 연구하다보면 코호몰로지를 만나게 된다.
쓰고 보니 ㄹㅇ 뻘글이네 ㅈㅅ
진짜 미안한데 뭐 어쩌자는 건지 모르겠음
걍 설명해주는거 아닌가? ㅇㅇ 호몰로지 이름붙은 수업에서는 구체적인 오브젝트없이 좀 하긴하니까.. 근데 모듈라이를 넣으면 또 배울게 넘 많을거같기도하고
헛소리
뭔 소리
그렇게 치면 호몰로지가 오히려 모듈라이지
일단 글쓴이가 모듈라이를 잘 모른다는건 알겠음
특정조건을 만족하는 대상들의 모임에 기하학적 의미(최소한 위상구조, 많게는 스킴이나 스택 구조)까지 줘야 모듈라이지.
그리고 그 기하학적 구조가 moduli functor와 잘 맞아야 하고... 암튼 moduli functor가 뭔지부터 공부해 봐
그런 거 공부 어디서 함? 혹시 이거 물리에서 많이 쓰임?
물리같은 소리 하지말고 대수기하 공부하자
물리에서 안 쓰이면 안함 ㅅㄱ
좀 다른 얘기지만 특수한 경우로 H^1(X,T_X)이 square zero deformation들을 parametrize함 T_X 는 X의 tangent sheaf. 근데 어떤 moduli funtor가 있어 저 벡터스페이스에 의해 representable된다 그런건 아님
그냥 1대1 대응이 있는거
근데 cohomology 는 Eilenberg-Maclane spectrum 에 의해 representable 가능한테 첫번째 Eilenberg-Maclane space는 일종의 classifying space임 따라서 코호몰로지는 coefficient group w/ discrete topology를 structure group으로하는
Principal bundle over X를 classify함. Higher cohomology를 해석하기위해서 higher category theory가 필요함