Theorem. Let B infinite-dimensional separable Banach space. Then if a Borel measure m on the Borel sigma-algebra of B is locally-finite and transition invariant, then m is a trivial measure, i.e. m=0 for all Borel sets or m=infinity for all Borel sets.


간단히 말해서, 보통 우리가 생각하는 무한차원 벡터공간에는 실수의 르벡 측도와 비슷한 성질의 측도가 없다는 내용입니다. 따라서 보통의 함수공간 (L^p공간, Sobolev 공간 등) 에 대해서는, 직관적인 유한차원에서의 측도(넓이,부피 등)를 생각하면 안되겠지요.


증명은 의외로 간단한데, 만약 조건을 만족하는 측도가 존재한다면, 직경이 1인 open ball 안에 직경이 1/4인 open ball을 서로 겹치지 않게 무한히 넣을 수 있음을 이용해서 직경이 1인 open ball의 측도가 0 아니면 무한대임을 보이는겁니다.


그럼 L^p공간과 같은 공간 위에서는 측도를 생각하는게 무용할까요? 그렇지 않습니다. 예를들어서, 0에서 1까지 가는 1차원 브라운 운동을 생각해 봅시다. 그러면 그 브라운 운동의 궤적은 L^p([0,1]) 함수가 되겠지요 (연속성으로부터). 그러면 C([0,1]) 함수공간 위의 Wiener measure 을 L^p([0,1]) 위에 push-forward 함으로써 (inclusion map에 의한 push-forward) L^p공간 위의 measure 를 정의할 수 있습니다. 이러한 measure 는 Gaussian probability measure on L^p 라고 불립니다. 이렇게 정의된 Lp 위에서의 측도는 상당히 유용하게 이용되고 있습니다.


이런 이론을 더 확장하여 PDE등의 연구에도 쓰이고 있는데, 예를들어서 "거의 모든(almost every) 해가 regular하다" 라는 명제를 주장하는 것이 가능합니다. 즉 해 공간에서 "almost every" 라는 개념을 정의하는 것이지요.


더 알아보고 싶으신 분은: https://arxiv.org/pdf/1607.03591.pdf, https://www.ams.org/journals/bull/2005-42-03/S0273-0979-05-01060-8/S0273-0979-05-01060-8.pdf


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