실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)가
실수 a에 대하여 f(a)=0,lim x->무한대 f(x)=0을
만족시키면, f'(c)=0인 c가 열린구간 (a,무한대)에 적어도
하나 존재함을 보이시오.
f>0이다가 f<0이면 사잇값정리에의해
f=0인게 있어 롤의 정리에의해 자명해지니
f>0 or f<0인 경우만 증명하면 됨을 보이고
wlog f>0인 경우만 보고,
f가 증가하다가 감소하면 극대가생기니 자명한데
f가 증가만 하면 lim x->무한대 f(x)=0이 불가능하다를
고교과정에서 못보일거같아서 이런방식으로못하는거같음
고교과정에선 어떻게 보일수잇음?
- dc official App
f(x)가 0보다 크고, f가 증가함수라고 하면 a보다큰 실수 b와 b보다 큰 실수 x에 대해 f(x)가 f(b)보다 크다. 그런데 f(b)가 0보다크므로 극한을 취하면 극한의 기본성질에 의해 lim f(x)가 양수라 모순. 따라서 f는 증가함수가 아니고, f(x)가 0보다 큰데 연속함수가 증가함수가 아니면 일대일함수가 아님.(사잇값정리로 보이면되고)
즉 f가 일대일 함수가 아니니 f(t1)=f(t2)인 a보다 큰 두 실수 t1과 t2가 존재해서 롤의 정리에의해 f'(x)=0 되는 점이 존재. 이거만으론 극대인지 극소인진 알수없는 약한조건이지만 어쨋든 고교내로 증명은되지. 극대인지를 알려면 다르부정리 사용해야할듯.
사실 f(t1)=f(t2)을 쓰겠다 생각하면 그냥 귀류법쓰서 f는 단사함수라서 케이스도 안나누고 좀 더 쉽게 증명가능...