[일반] 정수론 Gauss's lemma 증명에서 이해안가는거 있어요

[익명(125.137)]

소수 p에 대해 (a,p)=1인 정수 a에 대해 T={a,2a,...,a(p-1/2)}의 각 원소는

R={-1,+1,-2,+2,...,-(p-1/2),(p-1/2)}의 어떤 원소와 법 p에 관하여 합동이라는데 왜 그런건가요? 이걸 증명하고싶은데 답이없네요..

[익명파티(whatismyid)]

T랑 R 둘 다 기약잉여계라서

[익명(125.137)]

둘 다 기약잉여계인건 알고있었는데 근데 두 집합 모두 원소들이 어느 두 개도 서로 합동이 아니란 정보밖에는 없지않나요? 제가 아무래도 뭔가 큰게 놓치고있는거같은데..

[익명(125.137)]

큰게 -> 크게

[익명파티(whatismyid)]

기약잉여계면 {1,2,...,p-1}이랑 1대1대응 무조건 있음. 음 혹시 이게 왜 그런지 모르는거?

[익명파티(whatismyid)]

T는 어떤 두 원소도 mod p로 서로 같지 않고 원소가 p-1개. 만약에 i랑 mod p로 같은게 없으면 비둘기집의 원리에 의해 T의 어떤 두 원소는 mod p로 같아야해서 모순.

[익명(125.137)]

제가 한 번 해보면 일단 모든 t in T에 대해 s in R이 존재하여 t==s mod p란건데 이를 부정하면 어떤 t가 존재해서 모든 s in R에 대해 t==/==s mod p란거고 R에 t가 속하게 되어서 R의 크기가 더 커지니까 모순이다. 이런건가요?

[익명파티(whatismyid)]

t가 R에 왜 속하죠? 그리고 사실 그렇게 하면 좀 더 쉬워요. 그냥 t=0 mod p거든요.

[익명(125.137)]

그런데 둘 다 기약잉여계이려면 그 크기가 p-1이어야 하는건 알겠는데 T는 크기가 (p-1)/2가 아닌가요?

[익명(125.137)]

저도 써보니 t in R인게 왜 그런지 모르겠네요 그런데 왜 갑자기 t==0 mod p가 되는건가요?

[익명파티(whatismyid)]

아ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 제가 문제를 잘못 봤네요. 위에 제가 한 말 다 잊어버리고 그냥 R이 mod p로 1에수 p-1까지 다 같고있어서 그래요ㅋㅋ

[익명파티(whatismyid)]

R에서 1,2,...,(p-1)/2는 가만히두고 마이너스 붙은 애들은 p씩 더해보면 1,2,...,p-1이 됨. 그럼 T의 각 원소를 p로 나눈 나머지인 놈에 대응시키면 되고... 아님 그냥 p로 나눈 나머지를 0~p-1말고 -(p-1)/2~(p-1)/2로 썼다고 생각해도 무방.

[익명파티(whatismyid)]

t==0은 t가 p로 나눈 나머지가 뭔가 있긴해야되는데 1~p-1까지가 다 안되니까 그런거에용

[익명(125.137)]

진짜 모르겠는데 일단 R의 각 원소가 1,...,p-1과 p에 대해 합동인건 알겠어요 그런데 왜 T의 원소가 R의 원소들중 하나랑 합동이 되는건가요? 너무 뜬금없는데

[익명파티(whatismyid)]

p의 배수가 아니면 1~p-1 중 하나랑 합동이죠.. p로 나눈 나머지와 합동의 정의를 생각해 보세요.

[익명(125.137)]

아아ㅏㅏ아 맞다맞다 이제 이해가네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 감사합니다!!