3차 다항식과 2차 다항식이 간격이 같은 세 점에서 만날때 그 점들에 의해 생긴 주어진 다항식들의 그래프로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 서로 같음을 증명하란 문제인데 그니까 대충
저 넓이들이 같음을 보이는 문제에요
Simpson's rule과 그 error를 이용하여 증명하라던데 일단 제가 해본걸 적어보면
S1(=f-g의 적분값)은 f-g가 3차 다항식이 이므로 error가 4차 도함수가 0이니까 그값이 0이 되어 Simpson's rule 을 이용한 근사치랑 정확히 같고 S2도 그럴거란걸 알았구요
그럼 그때 공식을 이용해서 정리하고 S1-S2를 계산해보면 주어진 점들이 x0,x1,x2라고 할때 (h/3){(f-g)(x0+x1/2)-(g-f)(x1+x2/2)}만 남더라구요?
그럼 이제 저것들만 처리하면 될텐데 두 값이 서로 같다는 보장이 없어서 더 진행이 안됩니다 ㅠㅠ 어떻게 S1-S2=0 임을 보일수있을까요?
f(x)를 삼차함수, g(x)를 이차함수라 하고, h(x) = f(x) - g(x)를 고려해보세요
간격이 같으므로, h(x) = a * (x - alpha) * (x - (alpha + beta) / 2) * (x - beta)겠죠? (단, a != 0이고 alpha는 beta보다 작음)
이제 alpha부터 beta까지 h(x)를 x에 대하여 적분하면 그 값은 0입니다!
왜냐하면, 곡선 y = h(x)가 ((alpha + beta) / 2, 0)을 기준으로 점대칭이라서요.
아 점대칭이 키포인트였네요! 알려주셔서 감사합니다!