문제)
A := { i∈N | 0 ＜ i ∧ i ≤ 45 }.
X := { x∈P(A) | n(x) = 6 }.
Find Y⊆X such that (∀x∈X)(∃y∈Y)( n(x ∩ y) ≥ 3 ).
주장)
1) n(X) ≤ Sigma[y∈Y] n({ x∈X | n(x ∩ y) ≥ 3 }).
2) (∀y∈Y)( n(X) / n({ x∈X | n(x ∩ y) ≥ 3 }) = 45C6 / (6C3 * 39C3 + 6C4 * 39C2 + 6C5 * 39C1 + 6C6 * 39C0) ).
3) 45C6 / (6C3 * 39C3 + 6C4 * 39C2 + 6C5 * 39C1 + 6C6 * 39C0) ≤ n(Y).
4) 따라서 Y의 원소의 개수의 최솟값은 42 이상이다.
1번의 설명을 안했는데 그냥 무작정 당첨제비수로 나눠서 대략 확률이 그럴다 할거면 그냥 twin prime도 for all prime p<= X, q=p+2 is prime ~= pi (X) / (X/pi(X)) >~ x / (log x)^2 로 계산 하는게 맞지 않을까. 물론 기대값으로야 훌륭하지만 그게 증명은 아니지
그러니까 어디에서 어디로 넘어가는 게 틀렸나요?
1번은 계산기 뚜드려서 나온 값인데요?
아 ㅇㅋ 이해했음 ㅇㅇ 그렇게 세면 맞음. 뭐 더 좋은 답을 찾은거네
항상 도움을 주셔서 어떻게 사례를 해야될지 모르겠어요 ㅠㅠ 감사합니다.
1번 식만 보고 그냥 3개이상 일치하는 당첨제비수로 그냥 나눈지 알았음. 합 순서 바꿔서 증명한거면 맞음
2에서 오른쪽 값이 모든 y에 대해서 42쯤이란 보장이 없음. 물론 상황이 매애애애우 대칭적이고 예쁘니까 그렇 가능성이 높겠지만 추가적인 얘기 없이는 말할 수 없지. 1에서 너가 구한건 모든 y에 대해서 오른쪽의 평균? 혹은 기댓값 정도를 구한거일 뿐임
X의 임의의 원소 c에 대하여 n(X) / n({ x∈X | n(x ∩ c) ≥ 3 }) ~ 42이므로 2)가 성립하지 않나요?
아아아 잠만
엥 나도 이렇게 생각했었는데
각 집합 하나가 커버할수 있는 집합들이 저 분모 개수만큼이니까 적어도 저거 이상은 있어야 모든 집합을 포함할수있는거아닌가
저도 그렇게 생각하는데 이 주장을 형식적으로 옮기는 방법이 안 떠올라요.
그냥 비둘기집 쓰면 됨
진짜 죄송하지만 엄밀한 증명을 보여주실 수 있나요?
Y가 42 미만이라고 가정하면 X는 Y의 각 원소들에 대해서 교집합의 원소가 3이상인 친구들의 합집합으로 나타나야할거고(조건에 의해) 이제 원소의 수 계산하면 됨
주장 바꿨습니다.