[일반] 형들 벡터 잘 이해했는지좀 봐주셈

[익명(193.52)]

컴싸에서 벡터는 그냥 여러 자료들을 나타내기 위해 사용하는거고 

ex)  휴대폰 사이즈를 나타내는 3차원벡터 (가로크기, 세로크기, 두께) 

물리학에서는 방향을 나타내는거고 

ex) 2차원 좌표 평면에서 (2,1)  x축으로 2 y축으로 1 인 방향성

수학에서는 

위에 물리학과 비슷하면서도, 벡터로 사칙연산도 가능함 (더하기, 빼기, 스칼라를 통한 스케일링) . 이렇게 보면 되는거임? 

문돌이라 ㅈㅅㅈㅅ

[익명(58.230)]

...

[익명(193.52)]

그냥 저렇게 말 하기는 했는데, 어떤 정보에 대해 이해하기 위해서 그냥 벡터 사용하는거지?

[익명(193.52)]

대충 어떤 크기, 모형 을 가지고 있고, 저걸 다른 어떤 수와 조합하면 어떻게 되고

[익명(182.227)]

3B1B 어서오고

[익명(193.52)]

그렇게 공부함녀 안됨?

[익명(220.121)]

갑자기 벡터는왜 알고싶니

[익명(193.52)]

그냥 수학 공부하고싶어서

[익명(223.39)]

수학에서는 공리라고 부르는 규칙들로 벡터공간을 정의하고, 벡터공간의 원소로 벡터를 정의함.

[익명(223.39)]

제대로 벡터공간을 정의하려면 체가 뭔지를 먼저 알아야하는데, 대충말하자면 (우리가 아는 식으로) 사칙연산이 가능한 집합을 체라고 부름

[익명(223.39)]

그리고 아벨군이라는 것도 알아야 함. 그 전에 군이 뭔지부터 설명하면, 체를 설명할 때 사칙연산을 이야기했는데, 사실 뺄셈과 나눗셈은 덧셈과 곱셈의 역연산이기 때문에, 체는 두 개의 연산으로 정의되는 집합임.

[익명(193.52)]

사실 문돌이라서 조금 쉬운 방식으로 이해하려고 노력하는중. 시그마 알제브라 배우면서 대충 체라는거에 대한 감은 왔었는데. 이게 맞는건지 모르겠음 항상

[익명(223.39)]

두 개의 연산 대신 한 개의 연산으로 정의되는 집합을 군이라고 부르는데, 예를 들면 정수를 모은 집합이 있음. 정수끼리 덧셈을 해도 정수가 나오고, 0이라는 특별한 원소가 있어서 무언가에 0을 더해도 바뀌지 않고, 또 정수 i에 대해 -i라는 정수가 존재해서 둘에 덧셈을 취하면 0이 나오지. 그리고 결합법칙도 성립하고.

[익명(193.52)]

공리라는게 결국은 예를들어 사칙연산이나 뭐뭐가 가능하다 이런거 생각하면 되는거 아님? 체도 그런게 가능한 집합이어야 체가 되는거니까

[익명(223.39)]

군이라는 구조는 이 네 가지 규칙이 성립하는 연산을 가진 집합임. 연산이 닫혀 있고, 0이 있고, 역원(마이너스)이 있고, 결합법칙에 성립하고. 아벨군은 여기에 교환법칙을 추가한거.

[익명(223.39)]

벡터공간은 아벨군 V와 체(스칼라) K로 정의됨. (x,y,z)를 벡터라고 할 때에는 (x,y,z)를 모아둔 집합이 덧셈에 대해 아벨군을 이루고, 실수의 집합 R이 스칼라 역할을 해줌.

[익명(223.39)]

ㅇㅇ 공리가 이 연산 규칙을 말하는거임. 연산이 닫혀있는지는 대수구조의 공리에 포함되지 않는 경우도 많은데, 이건 연산의 정의에 포함돼서 그런거(집합 M 위의 연산은 M×M에서 M으로 가는 함수로 정의함)

[익명(193.52)]

그니까 원래 개념대로 이야기하기에는 조금 부족하지만, 그냥 어떤 도구적으로 봤을때는, 자유로운 계산을 위해 (사칙연산, 역원 등등) 저렇게 정의하는거 아님?

[익명(193.52)]

일단 자세한 설명 ㄳㄳㄳ 약간 문돌이식으로 이해해서 미안해

[익명(223.39)]

암튼 벡터공간으로 돌아가면, 벡터공간의 규칙은 일단 스칼라곱이라 부르는 특별한 함수(스칼라 하나와 벡터 하나를 받아서 벡터 하나를 뱉어냄)가 있어야 하고, 이 함수가 다음 조건을 만족해야 한다는거: 스칼라 a, b와 두 벡터 u, v에 대해 a(u+v)=au+av, (a+b)u=au+bu, 스칼라 0에 대해(체 K는 아벨군이므로 0을 가짐) 0u=0

[익명(223.39)]

자유로운 계산을 위해라고 받아들이면 열심히 쓴 보람이 없는데..

[익명(223.39)]

추상적으로 정의하는 이유는 '계산'에서 벗어나 보편적인 구조를 탐구하기 위함이지

[익명(223.39)]

그리고 그렇게 어려운개념도 아닌데 이정도는 (문덜이식으로 '이해'하지 말고) 알고있으셈. 내가적은게 그렇게 복잡한것도 아니고.

[익명(223.39)]

체 얘기를 대충해서 이해를 잘 못한거같은데, 체는 아벨군에 추가로 곱셈도 정의되어 있고, 0을 제외한 모든 원소에 대해 곱셈이 아벨군을 이루며, 덧셈과 곱셈 사이에 분배법칙이 성립한다는 조건이 붙음.

[익명(193.52)]

형이 어떤 말 하는건지 잘 이해함. 이걸 제대로 사용하기 위해서, 이런 기본적인 개념들을 익혀두는게 중요하기는 하지. 근데 수학 베이스가 너무 없어서 약간 큰 그림으로 이게 어떤거다 이렇게 정의해보고 싶었음 (머가리가 빠가라서 이래야 금방 익힘 ㅠㅠ)

[익명(193.52)]

ㄴㄴ 형이 체 얘기 꺼내서 인터넷에서 군 환 체 찾아보고 왔음

[익명(193.52)]

이렇게 열심히 설명해줘서 고마워!

[익명(223.39)]

내가 쓴 벡터공간의 정의를 보면 크기니 방향이니 뭐 그런 말이 있나요? 수학에서 쓰는 벡터공간의 정의에는 그런게 없어요. (x,y,z) 이런식의 실제적인 예시를 잠깐 잊어버리고, 딱 저 규칙들만 기억해봐. 그러면 벡터는 뭐든 될수있는거야

[익명(193.52)]

ㅇㅇ 그거는 감 잡음. 수학에서는 물리학과 달리 벡터가 모든것이 될 수 있다 ㄳㄳ

[익명(223.39)]

꼭 숫자가 연관될 필요가 있는것도 아니지. 물리학을 비롯한 다른 과학 분야에서는 숫자 없는 벡터를 상상할 수 없겠지만, 정의에는 숫자가 포함되지 않아. 으하지만 우리가 벡터공간에 대해 아는 아주 기본적인 사실들(고딩 기벡에서 배우는것들 생각해도 좋고, 기초선대를 배웠다면 기저를 생각해도 좋고)이 저 조건들로부터 나오니까, 숫자로부터 자유로울 수 있는거지.

[익명(193.52)]

당장 설명하라고 하면 못 하겠는데, 많은 도움이 되었음 형 ㄳㄳㄳ

[익명(193.52)]

마지막꺼는 약간 이렇게 생각해도 되지? (정확히 이름은 생각이 안 나는데). 어떤 a와 b선이 있을때, 우리 눈으로 봤을때는 a선이 더 커보이지만 수학에서는 꼭 그러한것이 아닌듯이. (예를들어 a선은 정수의 모임, b선은 R의 모임) 그런 것 처럼 자유롭게 상상하라 이거지? ㄳㄳ 또 개소리했나 ㅠㅠ

[익명(223.39)]

집합론에서 일대일대응이 존재하면 크기가 같다고 하는거 말하는거같은데, 뭐 별로 연관있는얘기같진 않다만 자유로운 사고를 말하고 싶은거라면 맞음. 물리학은 이 세계에 대해 탐구하려고 하다 보니 실제적인 것들에 관심을 가지는건데, 수학은 집합론에서부터 쌓아 올라가는(학자마다 견해차이는 있지만) 수학의 세계(공리계라고 함)에 관심이 있는거라

[익명(223.39)]

실제적인 예시들에 묶일 필요가 없는거지. 당장 내가 와닿을 만한 예시를 들진 못하겠는데, 이쪽에 흥미가 생겼다면 기초적인 군론을 공부해보는것도 좋을듯. 군을 단순하고 보편적으로 정의한 덕분에 어떤 군으로부터 몫군이라는 새로운 구조를 얻을 수 있거든(사실상 학부 군론의 알파이자 오메가). 숫자에 얽매인 정의를 썼다면 이런식의 개념은 나오기 힘들었겠지.

[익명(193.52)]

아 나 지금 이해했음. 왜 형이 나한테 저렇게 추상적으로 생각하지 말고, 저 공리에 대해서 익히라고 한 건지. 수학을 공리 아니면 logic 그 자체로 이해하면 되겠구나. 큰 깨달음 얻었음 형 덕분에

[익명(223.39)]

체에 대해 논할 때에도 기저와 같은 벡터공간 관련 개념을 쓰기도 함. 체 F가 있으면 F를 F 자신을 스칼라로 하는 벡터공간으로 생각할 수 있거든. 실수로 '실제적인' 예를 들자면 (x,y,z)와 비슷하게 (x)를 생각하면 될거임. 암튼 이런식으로 추상적인 정의를 쓰면 이 구조에서 저 구조를 발견하고 계산과 상관없어 보이는 분야에서 군의 공리를 발견하고

[익명(223.39)]

하는 식으로 광범위한 적용이 가능함.

[익명(193.52)]

사실 경제학과 출신 문돌이인데, 금융쪽으로 넘어와서 확률미분방정식 공부하다가 이런 저런 내용에 대해 알게 되었거든. 공부 할 당시에는 수학과가 아니니까 그냥 대충 이거겠지? 하고 넘겼었는데, 기초적인 내용을 잘 모르니까 뭔가 아쉽기도하고, 점점 흥미도 생기더라고. 항상 여기서 배워감 ㄳㄳ

[익명(223.39)]

ㅇㅇ 잘 알아들었네. 공리로 정의된 구조는 딱 그 공리만 생각하면 되는거임. 그게 정의니까!!

[익명(193.52)]

존나 ㄳㄳ 진짜 고맙다