|R^2| 하고 |R| 의 cardinality 가 같다는거 어떻게 증명함??
사실 자연수의 cardinality에서
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) .....
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) ......
.....
이런식으로 하고 이걸 자연수랑 순서대로 대응 시킬수 있으므로 |N| = |N^2| 라고 하는데 사실 이것도 직관적으로는 이해가 가는데 그렇게 수학적인 증명처럼
느껴지지는 않았거든?
혹시 이것도 다른 증명 방법있을려나?
참고로 현재는 집합론은 따로 공부 안하고 대수 공부하는중임
전단사 함수를 찾는 걸 말함? f(n,k) := (2 * k + 1) * 2^n - 1.
그러고보니 집합론 교재, 강의록 합쳐서 3권있는데 |R^2|과 |R|을 직접비교하는건 본적이 없네 다들 자연수에서 한번 비교하고 바로 기수 a로 두고 증명하더라 음..
근데 그 증명이 여기서 댓글로 싸버릴만큼 간단하질 않아서 정말 궁금하면 집합론 보는거 ㅊㅊ
아, |R| = 2^N_0 니까 기수 지수법칙 이용해서 가능
연속체 가설 꺼라 - dc App
연속체가설과 관련있는 문제이긴 한데 이건 참 맞음
R이 2^N이란건 연속체가설이 아니잖아; 그 사이에 아무것도 없냐가 연속체 가설이지
답변들 ㄳ
저R이 벡터공간이에여? - dc App
여기선 실수로 보는게 맞는듯
넵 - dc App
실수 두개가 소수점 무시하고 (abcdefg....),(123456.....)이라고 할때 a1b2c3d4.... 라는 실수에 대응시키면 될거같긴함 소수점생각하면 뭔가 힘들거같지만
요게 되긴할텐데 무한소수로 나타낼때 상당히 짜증나는게 같은 수라도 나타내는 방법이 여러가지라서 하나로 제한해줘야함
글쓴이가 원하는 답하고는 거리가 있지만 여러시간 동안 생각해서 얻은거라 적어봄. Q를 유리수 집합 Q^c를 무리수 집합이라면, 모든 무리수는 비순환소수로 표현되므로 댓글(180.224)의 아이디어를 이용하면 Q^c 와 (Q^c)^2 사이에 1:1 대응을 얻을 수 있음. R^2는 한개의 Q^2, 한개의 (Q^c)^2, 두 개의 Q \times Q^c 로 분할 할 수 있다. 반면에 R 은 (n, n+1) (n=...-1, 0, 1,...)와 N로 분할되고 탄젠트함수를 이용하면 이를 가분번개의 R와 N의 모임으로 볼 수 있다. 결국 R은 가부번개의 Q^c와 한개의 Q로 분할 된다고 볼 수 있다.
그런데 Q^c 와 (Q^c)^2가 1:1 대응되고 두 개의 Q \times Q^c는 가부번개의 Q^c로 볼 수 있고 Q와 N도 1:1 되므로, R 과 R^2 사이의 1:1 대응을 얻을 수 있다.
결국 R은 가부번개의 Q^c와 한개의 Q로 분할 된다고 볼 수 있다. 그런데 Q^c 와 (Q^c)^2가 1:1 대응되고 두 개의 Q \times Q^c는 가부번개의 Q^c로 볼 수 있고 Q와 N도 1:1 되므로, R 과 R^2 사이의 1:1 대응을 얻을 수 있다. --->로 수정 결국 R은 가부번개의 Q^c와 한개의 Q로 분할 된다고 볼 수 있다. 그런데 Q^c 와 (Q^c)^2가 1:1 대응되고 두 개의 Q \times Q^c는 가부번개의 Q^c로 볼 수 있고 Q와 N도 1:1 되므로, R 과 R^2 사이의 1:1 대응을 얻을 수 있다.
결국 R은 가부번개의 Q^c와 한개의 Q로 분할 된다고 볼 수 있다. 그런데 Q^c 와 (Q^c)^2가 1:1 대응되고 두 개의 Q \times Q^c는 가부번개의 Q^c로 볼 수 있고 Q와 N도 1:1 되므로, R 과 R^2 사이의 1:1 대응을 얻을 수 있다. --->로 수정 결국 R은 가부번개의 Q^c, 가부번개의 Q, 한개의 N로 분할 된다고 볼 수 있다. 그런데 Q^c 와 (Q^c)^2 그리고 Q와 N가 1:1 대응되고 두 개의 Q \times Q^c는 가부번개의 Q^c로 볼 수 있으므로 , R 과 R^2 사이의 1:1 대응을 얻을 수 있다.
다시 생각해 보니 윗글은 엉터리네! ㅅㄲㅁㅇ 말대로 조심할 구석이 많은 문제이군!! 유리수는 순환소수로 표현되고 무리수는 비순환소수로 표현되는건 맞는 것 같구, ㄱ이 순환소수고 ㄴ이 순환소수일 때 ㅁㅁ의 방법을 적용하면 순환소수가 얻어지고, 그 역도 성립하는 것 같아. 즉 순환소수를 ㅁㅁ의 방법을 역으로 적용하여 두 소수를 얻으면 두 소수 모두 순환소수가 되는 것 같아. 따라서 임의의 비 순환소수에 ㅁㅁ의 역방법을 적용하면 비순환 소수 하나 그리고 순환소수를 얻던지 혹은 두 비순환 소수를 얻게되고, 역으로 임의의 두 소수 (단 둘다 순환소수는 아님)에 ㅁㅁ의 방법을 적용하면 비순환소수를 얻게됨.
따라서 Q를 유리수집합, Q^c를 무리수집합이라 하면, Q^c 와 (Q^c)^2 \cup Q^c \times Q \cup Q \times Q^c 사이에 1:1 대응을 얻게 되고, 결국 R과 R^2 사이의 1:1 대응이 얻어짐.
n을 알레프 제로라고 하면 (2^n)(2^n)=2^(n^2)=2^n 끝아님?