지금 독학으로 위상수학 배우는 중인데 심심해서 명제 하나 증명해봄.
Topological space (X, tau)에서 임의의 점 x in X에 대해 뭔가 직관적으로 isolated point이면 boundary point일 것 같다는 느낌을 받았음.
그래서 증명하던 와중에 난관에 부딪혔는데... 그게 항상 그런 건 아닌 것 같더라고?
모든 topology가 두 개 이상의 서로 다른 원소를 가지는 아니기 때문에 발생하는 문제였는데, 예를 들어 discrete space면 단 하나의 원소가 open subset이 되어서 isolated point인데 boundary가 안 되는 상황이 발생.
그래서 충분조건 하나 추가했는데 topology의 모든 원소가 두 개 이상의 서로 다른 원소를 가진다고 전제하면, 모든 isolated point는 boundary point임. 이거 맞나?
예를 들어 Euclidean space면 무조건 isolated -> boundary임.
엄밀하게 하려니깐 증명이 생각보다 간단하진 않넹;
empty set\in τ이므로 정확하게는 nonempty open set U는 |U|>=2를 만족한다고 두고 시작하자. 주어진 A\subseteq X에 대해 Bd=\bar{A}\cap\bar{X-A}이므로, A의 isolated point a와 a의 neighborhood N이 주어지면 N-{a}는 가정에 의해 nonempty이고 N\cap A={a}이므
로 there exists y\in N\cap(X-A). Thus x\in\bar{X-A} and this completes the proof.
\bar는 closure임?
아 boundary가 저렇게도 정의되는구먼;; 나는 임의의 neighborhood에 대해 내외부에 점 하나씩은 포함한다는 정의로 증명했음.
근데 이 증명 이해 못하겠는데?
이해가 안되는 부분이 어느 부분임?
글로 옮기다가 empty set을 깜박했네. 근데 원래 전제를 \forall N \in \tau : \forall x \in N : \exists y \in N : x \neq y 로 뒀는데 이러면 자동으로 empty set 걸러져서 문제 없었는 듯.