[일반] Uniformly convergence 질문 드립니다

[Pow(1.245)]

밑줄 친 부분 어떻게 증명해야 할지 도통 모르겠습니다.. x를 2-t라고 둔 뒤에 uniformly cauchy하지 않다고 증명해야겠다고 생각했는데 그 이후로 발전이 되질 않습니다ㅠㅠ 어떻게 증명해야 할까요..

[가물가물(223.38)]

Cauchy로 접근하고 귀류쓰면 될 거 같은뎅. 안되려나

[Pow(1.245)]

Cauchy로 접근한다고 가정했을 때, 특정 x값에서 엡실론보다 큰 경우가 생긴다고 얘기하고 싶은데 막혔습니다.. ㅠ

[가물가물(223.38)]

균등수렴한다면 1. epsilon 잡으면 2. 적당한 N이 나오고 3. n, m >=N 이면 ||f_n - f_m||< epsilon인데 여기서 3번이 x -> 2 일 때 이상해질 거 같으니까 epsilon에 구체적인 수 집어넣고 찾아보시용

[Pow(1.245)]

음.. 뭔가 하긴 했는데 맞는지 모르겠네요

[익명(39.118)]

bounded sequence가 uniformly converge하면 그 limit도 bounded임을 증명해 보세요.

[익명(119.202)]

fixed n에 대해 |fn(x)-f(x)|가 unbounded함을 증명 ㄱ

[익명(185.25)]

미분해서 2근처로가면 도함수 발산하는거 보이셈

[sqrt(222.237)]

균등수렴은 균등연속을 보존하잖슴. 근데 저건 함수열의 각 항은 주어진 개구간에서 균등연속인 반면 다 더하고 나니까 양쪽 경계에서 극한값이 무한대로 튀어 버리니까 균등연속이 아니잖아요. 따라서 균등수렴이 아니죠.

[익명(185.25)]

극한 무한대로 안튐 걍 1고정이지 (0이랑2에서) (0,2)에서 0으로 수렴하니 뭐 그게 그거다만

[sqrt(222.237)]

? abs(x)<2에서 시그마[k=1..oo]((x/2)^k)=(x/2)/(1-(x/2))=-1+1/(1-(x/2))라서 x가 2로 다가갈 수록 함숫값이 무한대로 튀지 않나요

[sqrt(222.237)]

물론 양쪽 경계에서라고 말한 건 틀리지만 아무튼 양수쪽 경계에서 문제 생기는 건 맞으니 이런 이유로 균등수렴이 아니죠

[Pow(1.245)]

제가 수학적 지식이 부족해서 그러는데.. 폐구간이 아닌 개구간인데도 문제가 생기는 건가요?

[Pow(1.245)]

저는 n, m >= N 이면 |f_n - f_m| < epsilon 해서 | sigma from k=m+1 to n (x/2)^k | < 1로 했을 때 x=2-t (t->0) 이면 (x/2)=(1-t/2) -> 1 되기 때문에 | sigma from k=m+1 to n (x/2)^k | < 1이 성립하지 않는다고 했는데 이렇게 하면 될까요..?

[sqrt(222.237)]

함수가 유계인 개구간에서 연속이고 왼쪽 끝에서 우극한이 존재, 오른쪽 끝에서 좌극한이 존재하면 그 함수는 그 개구간에서 균등연속입니다. 그래서 (x/2)^k 각각은 유계인 개구간(-2,2)에서 균등연속이지만 그것들의 무한합은 오른쪽 끝에서 극한값이 존재하지 않으니 그 구간에서 균등연속이 아니다. 그래서 균등수렴하지 않는다는 말을 하고 싶었던 겁니다.

[sqrt(222.237)]

ㅇㅇ 그래도 되는데 만약 어디 제출 목적이면 좀 더 정교화 시켰으면 좋겠음. 이건 걍 idea 수준인 거고 그걸 좀 더 정교화 시켜야 증명이라고 할 수 있지 않을까요? 예를 들면 지금 x=2-t라 하고 t를 0으로 보내면 abs(sum[k=m+1..n]((x/2)^k))>=1이니까 균등수렴이 안돼!라는 말에서 t를 0으로 보낸다는 표현 대신에 실제로

[sqrt(222.237)]

저 절댓값이 1이상이 되게씀하는 t값을 아무거나 하나라도 찾아줘야한다고 생각해요. 그냥 저래 납두면 고등학교 수학이랑 뭐가 다른 가요. 물론 균등수렴이 안됨을 보이는 게 메인이 아니라 그 사실을 이용해서 다른 무언가를 하는 게 메인이면 지금 님처럼 언급하고 지나갈 수도 있고, 또 그렇게 해야하지만 지금은 저 자체가 메인이잖아요. 님처럼 하려면 t값을 직접

[sqrt(222.237)]

찾아줘야한다고 생각합니다.

[sqrt(222.237)]

생각해보니 님처럼 하면 힘들겠네요. 저렇게 하면 t가 0으로 가서 x가 2에 바짝붙는 게 빠른지 그때 절댓값이 0으로 가는 게 빠른지 알 수가 없잖아요.

[sqrt(222.237)]

아 다시 생각하니 그냥 저 방법 쓰면 안 되겠네요. x를 움직이는 게 아니라 (-2,2)에 존재하는 임의의 점으로서 생각해야하는데 t가 0에 다가간다, x가 2에 바짝 붙는다 등은 입실론-델타 논법 전 시대로 돌아가는 꼴이니까요

[가물가물(223.38)]

epsilon 1/2로 ㄱㄱ

[sqrt(222.237)]

저 문제가 점별수렴은 되는데 균등수렴은 안 되는 이유를 제시하라고 낸 문제인데 님처럼 하는 건 N은 가만 내비 두면서 x만 2에 가깝게 붙여놓고는 자 봐봐 안 되지? 하는 꼴이 거든요. 제 생각엔 균등수렴한다는 걸 입실론-델타로 표현하실 줄 아는 거처럼 반대로 균등수렴하지 않는다는 것 또한 입실론-델타로 표현할 줄 알아야하는데 그것이 잘 안 되는 것처럼

[sqrt(222.237)]

보이네요. 만약 제 말대로 그것이 어렵다면 양화사(A뒤집어 놓은 거, E뒤집어 놓은 거)를 포함하는 문장을 부정하는 법을 익혀두셔야 할 것입니다. A=for all, E=there exist, s.t=such that 집합S에서 fn이 f에 균등수렴한다= A(입실론)E(자연수N)s.t A(S의 원소x,N이상의 자연수n)abs(fn(x)-f(x))<입실론

[sqrt(222.237)]

이를 부정하여 집합S에서 fn이 f로 균등수렴하지 않는다는 말은 다음과 같습니다. E(입실론)s.t [A(자연수N)E(집합S의 원소x, N이상의 자연수n)s.t abs(fn(x)-f(x))>=입실론] 따라서 이 문제처럼 균등수렴이 안 됨을 보일 땐 저 두번째 문장을 활용해야합니다.

[가물가물(223.38)]

균등수렴이면 "e = 1/2, n = N, m = N+1이라고 하면 x in (-2,2)에서 ||(x/2)^N+1||<1/2이 항상 성립한다" 인데 x in (-2,2)에서 부등식 ||x^(N+1)|| < 2^N ||x|| < 2^(N/N+1)이 항상 성립하지 않는 것은 자명하다. 요거 안댐?

[sqrt(222.237)]

님 처럼 코시를 활용하는 경우는 E(입실론)s.t [A(자연수N)E((-2,2)의 원소x,N이상의 자연수n,m)s.t abs(fn(x)-fm(x))>=입실론] 이 되겠네요.

[sqrt(222.237)]

가물가물님처럼 하면 깔끔함. 다만 망할 자명하다가 신경쓰이는데 저거 대신에 x를 (2^(N/(N+1))+2)/2로 잡아줬으면 좋겠음.

[sqrt(222.237)]

균등수렴이면 균등연속을 보존한다. 그런데 본 문제는 균등연속을 보존하지 않으므로 균등수렴하지 않는다는 주장보다 가물가물님의 방법이 균등수렴의 원래 정의에 훨씬 더 근접해서 좋은 풀이인 것 같습니다.

[Pow(1.245)]

하 쉽지 않네요.. 좀 더 많이 생각해봐야 할 것 같습니다..

[ExHentai.org(nsa15464)]

2-2/k 넣어보셈

[익명(185.25)]

존나 어렵게푸네 걍 lim__n lim_(x goes 2) f(x)=1 =\= 0=lim_(x goes 2) lim_n f(x) 라고쓰면 끝인데 이렇게해도 엄밀한거임

[sqrt(222.237)]

내가 아는 엄밀의 의미가 바꼈나 보네