올렸던건데 잘모르겠어서 다시 올림.
알아낸거:
M = S^2 or T^2 # ... # T^2 or P^2 # ... # P^2
일단 위에 문제는 풀어서 위에문제에 있는걸 적용하면
pi_(S^2) = trivial group => any homomorphism from pi_(S^2) -> pi_(S^1) is trivial
pi_(P^2) = Z/2 => any homomorphism from pi_(P^2) -> pi_(S^1) is trivial
그래서 위에 두 경우는 위 문제에 따라서 아무 continuous 한 f : M->S^1 가 null homotopic 함
힌트받은거 잘모르겠는거:
-f : T^2 = S^1 x S^1 -> S^1 를 (x, y) -> x로 정의할시 f는 null homotopic 하지 않음.
-null homotopic 하지 않은 f : P^2 x P^2 = Klen bottle -> S^1 가 있음.
-위의 두 경우를 이용하면 T^2 # ... # T^2 or P^2 # ... # P^2 에 대한 결과를 얻을수있음
도와줘...
저거면 모든 case가 커버 된 거 아님? 토러스가 있으면 안되는 f 있는거고 P2#P2#P2=T2#P2인가 그랬던 것 같은데.
ㅇㅇ 근데 힌트 받은거를 잘모르겠음.
??? 저 힌트로부터 토러스가 있으면 끝인걸 알거고 토러스가 없는 건 클라인병, RP2, S^2 뿐인데 이 세 개도 다 끝냈잖아.
그니까 지금 모르겠는건 왜 (x, y) -> x가 null homotopic 하지 않은지, null homotopic 하지 않은 f : P^2 x P^2 = Klen bottle -> S^1 가 무엇인지, 그리고 어떻게 T^2 # ... # T^2 -> T^2 로 가고 P^2 # ... # P^2 -> P^2 # P^2로 가는지, 그리고 그렇게 가는 맵이있다하면 그거랑 f랑 합친게 왜 null homotopic 하지 않은지.
혹시 답알겠으면 자세히 설명좀 부탁. 자고옴
다 알려주긴 좀 그렇고 몇 개 sketch만 해주면 첫번째는 반대방향 매핑 하나 잡아서 identity map으로 S1 fundamental group 건드리면 되고 M#N->M 맵 잡는 거는 한번 contraction 잘 생각해보셈. 걔의 null homotopy 도 첫번째와 비슷하게 보여짐.