지금 한창 벡터해석 하고있는데 보존장 관련해서 질문 드리고 싶습니다.
"F가 보존장이면 Py=Qx이다."가 성립하려면 F가 open connected region에서 정의되면 되는데
"Py=Qx이면 F가 보존장이다."가 성립하기 위해서는 F가 Open simply-connected region에서 정의되어야 하는 이유를 잘 모르겠습니다..
두 번째 명제는 그린정리 써서 증명하던데
그린정리는 open simply-connected region이 아니고 Open-connected region이어도 적용 가능하지 않나요?? 구멍 뚫려있어도 적용 가능하던데
왜 갑자기 simply란 조건이 붙는지 이해가 안갑니다.
그린 정리가 구멍 뚫린 영역에서도 성립하는 건 맞는데 그러면 가장 바깥쪽 경로적분 뿐만 아니라 안쪽 구멍의 경계에 해당하는 경로적분도 고려해줘야하잖음
그럼 고려해주면 된ㄴ거 아닌가요? 그게 왜 Simply라는 조건을 끌고오는지 이해가 되지않아 와닿지 않아요.
임의의 폐곡선 C에 대하여 경로적분하면 0이 나와야하는게 보존장의 정의. 그린 정리가 쓰이는 이유는 임의의 C를 bound하는 region R이 존재하고 R에서 P_y=Q_x면 면적분이 0이 되어 C에 대한 경로적분이 0이 나오기 때문. 그런데 R 전체에서 P나 Q가 잘 정의가 안 되어서 구멍을 뚫은 region R'만 있다고 생각하면 폐곡선 C에 대한 적분이 0이 되길 원하는데 C와는 다른 안쪽 경계선 C_1이나 C_2 등의 경로적분까지 모두 합쳐야 0이 되잖음.
조금 알 것 같긴한데... 감사합니다
밑에서 이야기한 반례의 경우에 적분값이 2pi가 나온다는걸 어케 보였음? 임의의 원점을 포함하는 폐곡선 C가 있으면 C 안에 있으면서 원점을 포함하는 작은 원 C'을 생각하고 (C의 경로적분)-(C'의 경로적분)=(C와 C' 사이 region에서의 P_y-Q_x의 면적분)=0으로 보이잖음.
적용이 안될텐데? (-y/(x^2+y^2), x/(x^2+y^2))가 대표적인 반례임
그거 교과서 예제에서 그린정리 쓰던 것 같은데요
원점에서 구멍 뚫려있는데 그린정리 써서 원점 포함하는 어떤 경로를 잡든 값이 일정함을 보이고 반지름 a의 원 경로를 잡아서 2pi라고 구했던걸로 기억해요
적용 가능한 것 아닌가요?
이 예시가 Py=Qx 이지만 보존장이 아님을 보여주는 반례긴한데 뭐라해야하지 Open connected region 에서 안된다고 simply connected region에서는 된다는 그 과정을 잘 모른단 뜻이어요
그린정리써서 저 정리를 증명 못한다고... 2pi가 아니라 2pi의 정수배가 나와. 책 다시보셈
아 그린정리로 Sketch of Proof를 보여주긴 했는데.. 그린정리로는 증명을 못하는 건가보네요. 감사합니다.
2pi 라고 구했다며. 보존장이면 0 나와야 되잖아 ㅋㅋ
저건 저 분이 구멍뚫리면 적용 못한다는거에 대한 말이고 제가 잘 이해가 안 가는건 왜 simply라는 조건이 붙는건지 증명과정을 봐도 모르겠ㅇ요.
1. 일단 boundary가 simple closed curve면 그 내부는 simply connected가 될 수 밖에 없음. (Jordan curve theorem) 2. 그린 정리는 함수가 simple closed curve의 내부에서 C1일때 성립함. 즉 위 댓글 예시처럼 정의역에 구멍이 나있거나 하면 안됨.
Jordan curve theorem은 나중가야 배우는거죠?
Jordan curve theorem 아마 미분기하에서 배울거임
아아 책에서 구멍뚫린 영역에다가 그린정리를 확장한건 '정의역에 구멍'이 나있는게 아니고, 구멍뚫린 부분에 대해서도 정의역이 문제 없지만 해당 구멍에 대한 면적을 적분하지 않는 것 뿐이네요
제대로 이해한게 맞을까요?
simply connected랑 connected랑 완전 다른 개념입니다