우선 선택공리는 이렇게 알고 있음.(위키피디아)
궁극적으로는 이게 왜 비자명한가를 물어볼 건데, 내 생각을 좀 써볼게.
집합론에서 어떤 걸 증명할 때, 어떤 집합 A가 nonempty인 걸 보이고 'Let a be in A' 이런 식으로 집합의 원소를 가져오는 논증을 자주 사용했는데 이것도 AC에 의존하는건가? AC에 의존하지 않는다면 이 논증을 axiom에 서술된 집합 X의 모든 원소, say X_alpha,에서 'let x be in X_alpha'라고 말할 수 있지 않나 싶어서 헷갈림.
아니면 이걸 무한히 혹은 uncountably many 시행할 수 있다는 게 비자명한건가? (즉, X가 infinite or uncountable)
질문요약
1. 'Let a be an element of A' 라고 말하려면 AC를 가정해야 하는가?
2. 만약 아니라면 위와 같은 논증으로 choice function을 구성하면 되는 것 아닌가?
3. AC가 비자명한가 아닌가는 X의 cardinal에 의존하는가?
나도 뭘 잘못 생각하는지 모르겠어서 말이 중구난방이네 ㅜㅜ 조언 주면 감사
(지금보니 '비자명'이라는 단어 선택도 좀 이상한데 적당히 대체할 말을 못 찾겠다)
- dc official App
1. x 2. x 니가 말한것처럼 유한번은 할 수 있어도 무한에 대해서는 말할 수 있는게 없음 3. o
이 시간에 답변 ㄱㅅ, 뭐가 맞는 생각이고 틀린 생각인지 몰랐는데 확실히 해줘서 고마웡 - dc App
근데 2번도 x인 이유가 사실 잘 안 와닿음 - dc App
니가 말한 것처럼 choice function을 construct하는 과정에서 X에 속한 집합마다 그 원소를 뽑아주는 과정이 필요함. 이걸 무한히 반복하면 그건 이미 construction이 아님. 우리가 말하는 증명이란건 유한 개의 술어로 구성된 걸 말하는거임 ‘각 X의 원소에 대해 그 원소 하나를 택한다’로 퉁치면 그건 동어반복일 뿐임
오오 좋은 말들 고마워 - dc App
x 하나를 X_alpha하나에서 찾는건 가능하지만 모든 alpha에 대해 x_alpha in X_alpha를 일괄적으로 찾는게 ZF랑 독립이란 얘기
ㅇㅎ 윗분 댓글읽고 이거까지 보니까 이해된다. 그리고 내가 'ZF랑 독립인가'라고 말해야 했구나. 정말 감사합니다 - dc App
신기하게 ZF하에서 선택공리는 (직관적으로) 참인 것 같지만 선택공리랑 동치인 명제중엔 거짓인 것 같은게 많음 ㅋㅋ