[일반] 증명가능여부에 관한 질문

[익명(118.235)]

모든항이 양수인 0으로 수렴하는 어떤 수열 a_n이 있다고

하자.

a_n이 0으로 수렴한다는 사실을 이용하지않고

모든 n번째 항이 a_n보다 큰, 그렇지만

a_n과는 무관하게 0으로 수렴함을 알수 있는 수열

b_n을 "항상" 명시적으로 잡을 수 있음?

- dc official App

[익명(112.151)]

이 질문을 증명가능성에대한 메타수학적 질문으로보면 "a_n이 0으로 수렴한다는 사실을 이용하지않고" 라는 말의 의미가 명확하지않아서 답변불가능함

[익명(118.235)]

b_n이 0으로 수렴함을 확인하는 과정에서 a_n이 0에수렴함과 무관하게 확인 가능해야하고,b_n이 a_n보다 모든항이 커야함. - dc App

[익명(175.223)]

그런걸 원하는거면 0으로 수렴하지 않는 a_n으로 같은 짓을 했을때 똑같은 결과가 나온단 소린데 말이 됨?

[익명(118.235)]

0으로수렴하지않는 a_n에 대해서는 b_n의 모든n번째항이 a_n보다 크다는거에모순이되겟지 - dc App

[익명(175.223)]

그러니까 말이 안되잖아

[익명(118.235)]

b_n을 굳이 실제로 써봐라 랑은 별개고 그런 어떤 0으로 수렴하는 수열 a_n을 갖다놔 주면 항상 샌드위치 정리로 순환논증없이 a_n이0에수렴함을 보일수잇냐는 질문임 - dc App

[익명(175.223)]

a_n이 0으로 수렴한다는 사실을 이용하지 않는다면 a_n이 0으로 가든 말든 b_n은 0으로 가야하는데 그럴 수가 없다고

[익명(118.235)]

이렇게말하면 조금 더전달이잘되려나 - dc App

[익명(175.223)]

샌드위치 정리를 쓸 때 위에서 눌러주는 함수를 잡을 수 있는 이유는 a_n이 0으로 가냐를 증명했냐와는 별개로 실제로 0으로 가기 때문에 가능한거임

[익명(118.235)]

ㅇㅇ 실제로 0으로가기때문에그러지. 내가말을 좀 전달을 애매하게한거같은데, 샌드위치정리가 순환논증이안돼야한다는게중점임 - dc App

[익명(118.235)]

항상어떤임의의수열이주어져도그수열이 모든항이양수고 0에수렴하면 순환논증없이 샌드위치정리로보일수잇냐는거지 - dc App

[익명(175.223)]

그 순환논증이란 말이 상당히 애매한데, b_n이 0으로 간다는거의 증명이 곧 a_n이 0으로 간다는 거의 증명이라 어떤 관점에선 어차피 순환논증 아냐? 극단적으로 2a_n이 0으로 간다는걸 증명하고 그걸로 샌드위치를 쓴다고 생각해봐 이거랑 순환논증이랑 뭐가 다름?

[익명(118.235)]

a_n이 0에수렴함을 다른방법으로 항상 증명가능할때로 바꾸면? - dc App

[익명(175.223)]

2a_n

[익명(118.235)]

a_n이 0에수렴함과무관하게 모든n번째항이 a_n보다크고 0에수렴함을 확인할수잇어야함 - dc App

[익명(112.151)]

"b_n이 0으로 수렴함을 확인하는 과정에서 a_n이 0에수렴함과 무관하게 확인 가능해야하고,b_n이 a_n보다 모든항이 커야함." 무관이라는 말을 썼는데 무관이라는 말의 의미가 명확하지 않음. a_n이 0으로 수렴하잖아? 그게 참이잖아? 참인 것이 어떻게 무관할 수 있음? 참인 것을 어떻게 쓰지 않을 수 있음?

[익명(118.235)]

ㅇㅇ생각해보니까 이거의 표현이좀애매한듯 - dc App

[익명(118.235)]

항상어떤임의의수열이주어져도그수열이 모든항이양수고 0에수렴하면 순환논증없이 샌드위치정리로보일수잇냐는거지 - dc App

[익명(112.151)]

"항상어떤임의의수열이주어져도그수열이 모든항이양수고 0에수렴하면" 이라는 말 역시 계속 애매함. 이게 일반적인 수학에서는 애매하지 않은 말이지만 형식적 증명가능성을 따지는 레벨이라면 애매한 말임.

[익명(112.151)]

그 애매한 부분을 "항상어떤임의의수열이주어져도그수열이 모든항이양수고 0에수렴하면" 를 model-theoretic 하게, 즉, 참/거짓에 대한 조건으로, "순환논증없이 샌드위치정리로보일수잇냐는거지" 라는말을 형식증명이 존재하냐는 식으로 proof-theoretic 하게 해석해서 답변을 할수있긴한데... 이런답변을 바란건지 모르겠다

[익명(112.151)]

0으로 수렴하는 수열의 개수는 uncountable 개임. 그렇지만 증명의 개수는 countable개임. 따라서 0으로 수렴하지만 그게 증명불가능한 수열이 항상 존재함

[익명(112.151)]

단적으로 이렇게 말할수있긴한데 이건 0으로 수렴하는 수열의 개수는 uncountable 개라는 집합론적 모형을 가정하고 말한거임

[익명(118.235)]

a_n이 0에수렴함을 다른방식으로항상 증명가능하면? - dc App

[익명(112.151)]

아니면 이렇게 허무한 답변이 싫으면 "0으로 수렴하는 임의의 수열" 이 아니라 "0으로 수렴하는 recursively enumerable 한 수열" (대충말하면 하게는 0으로 수렴하는 유한한 방법으로 표현가능한 수열, 길이가 유한인 수열말고) 라는 조건을 붙여서 질문을 재해석 가능할거임

[익명(112.151)]

"다른방식" 이라는 말이 애매함.

[익명(118.235)]

그러면 단적으로,단조수렴정리로 0에수렴함이 증명가능한 a_n이라 해보자 - dc App

[익명(112.151)]

단조이면서 0에 수렴하는 수열은 uncountable 개임. 근데 증명의 개수는 기껏해야 countable 개이므로 0으로 수렴함을 보일 수 없는 단조수열이 존재함

[익명(118.235)]

단조수열이 0으로 수렴하는게 참이라면 항상 증명가능해야한거아님? - dc App

[익명(118.235)]

참이다 라는것의 의미를 그렇게 알고잇는데 - dc App

[익명(112.151)]

참고로 내가 cardinality 를 써서 내놓은 답변은 의미가 매우 없거나 사소할 수 있음. 원래의 질문을 아주 특정한 방법으로 해석해서 내놓은 답변이기 때문임. 하지만 그렇다고 더 말이 되는 해석이 존재하느냐? 애초에 이건 informal 한 질문인데 내 의견은 "더" 말이 되는 해석은 존재할지 모르지만 완벽히 말이 되는 해석은 존재하지 않음.

[익명(112.151)]

아무튼 cardinality 를 써서 한 저 답변을 심각하게 받아들이지는 마셈

[익명(112.151)]

informal 하게는 그렇게 볼 수 있음. 참=증명가능한것 이라고 볼 수도 있음. 그러나 그런 관점을 도입한다면 질문에 대한 엄밀한 논증에 기반한 답을 하는 것이 불가능함. 애초에 질문 자체가 수학적 질문이 아니기 때문임.

[익명(112.151)]

"A를 쓰지 않고 B를 증명하여라" 라는 식의 문제를 본적있을거임. 이건 informal 한 수학적 문제로서는 의미있지만 엄밀한 형식적 증명가능성 레벨에서는 의미없는 (혹은 의미를 찾기 어려운) 문제임.

[익명(112.151)]

아 참고로 여기서 A가 단조수렴정리 같은 게 아니라 배중률이나 선택공리같은 근본적인거면 이건 의미있는질문임

[익명(112.151)]

a_n -> 0 을 단조수렴정리를 써서 증명할 수 있다면 a_n -> 0을 샌드위치 정리를 써서 증명하는 것이 가능한가? 라는 식의 질문이 애매한 이유에 대해 좀 더 자세히 논하자면

[익명(112.151)]

a_n -> 0 을 보일때 특정 정리를 쓰지 말라는 게 의미없기 때문임. 뭔가를 증명할때 기본적인 논리적 규칙들을 쓸거아님? 그게 허용된다면 그 기본적 규칙들을 통해 증명할 수 있는 단조수렴정리, 샌드위치정리... 기타 등등 다른 정리등도 당연히 허용되어야함.

[익명(118.235)]

그러면 아무문제나 내놓고 고교과정으로 설명가능이라할수잇는거아님? - dc App

[익명(112.151)]

무언가가 고교과정인지 아닌지 따지는 것은 수학적 문제가 아님.

[익명(112.151)]

이 문제는 사람마다 의견이 다를 수 있음. 누구는 이정도면 고교과정이라고 할 수도 있고 누구는 이정도는 고교과정이 아니라고 할 수도 있지