지금 위상수학 배우는 중.
우선 Topological space에서 open subset부터 살펴보자. 어떤 set X의 topology가 되는 데 필요한 조건 세 가지가 있다. 그리고 이 세 조건을 만족하는 topology의 원소들을 open subsets of X이라고 부름. Topological sapce에서는 open set을 이렇게 정의하는 거.
Metric space에서는 metric을 이용해 open ball을 정의하고 open ball을 이용해 open set을 정의한다.
Metric space의 open set들은 모두 topology의 세 조건들을 만족한다는 것을 open ball을 이용해 간단하게 보일 수 있음. 따라서, 모든 metric space는 topological space다. 그러나 어떤 family of subsets of X가 topology의 세 조건을 모두 만족한다고 해서 그 family의 원소들이 metric space에서 정의하는 open set이 되게 하는 metric이 항상 존재한다고 볼 수는 없다. 그래서 모든 topological space는 metric space가 아니다.
이렇게 이해하는 게 맞나? 책에서는 그냥 모든 topological space는 metric space가 아니라고 하고 예시만 보여주거든. 저것의 이유를 좀 더 자세히 알고 싶은데 위에 써놓은 것처럼 이해하면 되나?
ㅇㅇ
토폴로지는 그냥 새로운 표현방식이고 이거로 메트릭 스페이스를 표현가능하다 이렇게 이해하면 댈듯
ㅇㅇ
맞음. 이산거리와 이산공간의 관계를 생각해 보고, 비이산 위상에 해당하는 거리가 없다는 거를 생각해 봐.
보통 많은 위상들이 유클리드거리(피타고라스 정리 일반화)로 유도된 보통공간을 예로 들면서 많이 시작하지. 나중에 거리화가능공간 이런 것도 배우면 신기하긴함