Wikipedia에 나와있는 metric space에서 적용되는 intermediate value theorem인데 이거 증명 어딨어?
원래 증명하려고 했던 명제는
In a topological space (X, tau), consider a set S as a subset of X and a continuous function f:R->X such that for a, b in R, a < b and f(a) in Interior(S) and f(b) in X setminus Closure(S). Then, there is c in (a, b) such that f(c) in Boundary(S)
그냥 이거 참일 거 같아서 만들어본 건데... Topological space에도 대응되는 IVT 있나?
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너무 당연하게 생각해서 깜박했다
이것도 wikipedia에 있는 것처럼 supremum 이용해서 증명할 수 있을 거 같은데 이따 함 해봐야지.
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Interior(S)와 X setminus Closure(S)가 non empty인데 boundary가 empty일 수 있음?
생각 못했는데... 그럴 수 있구먼. 일단 그럼 X가 connected set이라는 가정 추가
조언 고맙다 ㅋㅋ
문제 조건에 의해 S가 connected component일수 없지 않나?
S가 connected인지 아닌지는 중요하지 않은데
아 open and closed일수 없다로 정정....
그러면 X-closure(S) 가 공집합 아닌가
R의 interval decomposition은 그냥 R임. ㅋㅋ
AKIRAx / S의 조건 때문에 clopen일 수가 없는 거 맞는 듯.
가산 개의 disjoint open interval의 합집합? R이 disconnected임?
IVT로 특정시키지 말고 그냥 연속함수는 connectedness를 보존한다는 명제로 일반화시켜 기억하세요
MSE에 올렸는데 순식간에 답이 나와서 어리둥절. 1분 만에 풀이 올려버리넹... connected 가정도 필요 없고. preimage 이용해서 증명하더라.
1분은 아니고 7분이구나... 머리 쓰기 시러하는 나는 놀랄 뿐...
결론은 참임.
f(a, b)가 connected인데 만약 boundary를 포함하지 않으면 interior of S랑 X-closure of S에 의해 separate되니까
그거는 IVT를 전제하고 하는 말이자나. the image of a connected set over continuous mapping is connected. 내 말은 IVT를 어케 증명하냐는 거임.