0과 1 사이의 수 중에서 임의로 한 수를 뽑았을 때 그 수가 유리수일 확률은 0이라는 사실을 알았습니다.
자세히 알지는 못하지만 유리수는 셀 수 있고 무리수는 샐 수 없어서 0에 수렴한다고 들었었는데
이게 확률을 실제로 계산하는 방법으로도 구할 수 있다고 생각했습니다.
조금 고민하고 제가 생각해낸 방법은
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0.1로 시작하는 수를 고를 확률은 ×가 0~9 중에 하나이니 1/10이다.
이때 이 뒤에 어떤수가 붙더라도 무한개가 아니면 유리수이다.
순환하는 소수여도 유리수이다. k 순환마디를 가지는 n개의 수로 이루어진 소수일 확률은 (10^(k - 1)-1) 0.1^n라고 볼 수 있다.
이 lim(n to inf)(Sum(k=1 to n)(10^(k - 1)-1) 0.1^n)=1/9
그렇다면 우리는 유리수를 고를 확률을 이렇게 쓸 수 있다
1/10 × lim(n to inf)(1-(0.1)^n)/(1-0.1) +1/9=2/9.
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이렇게 구할 수 있겠다는 생각이 들었습니다. 그런데 실제 값은 0으로 나오지 않더군요
왜 다른 결론이 뜨는지, 제 생각에 근본적인 문제가 있는건지 아니면 수정을 통해서 같은 결론으로 만들 수 있는건지
순환하는 소수도 무한히 많은 순환 가짓수를 가지니 유의미한 확률을 갖게되는건가요?
이걸 반영해서 0이라는 결론을 도출해낼 수 있을까요?
순환할 확률을 어떻게 구한건지 이해가 안되는데
죄송합니다. 생각을 잘못한거 같네요. 수정해서 올려두었습니다.
유리수 하나 0.abcd 이런식으로 쓰고 순환마디 적당히 정해도 순환소수가 더 많이 나오지 않냐 순환소수가 전체 유리수에서 드물지 않을텐데
저도 일단 그 부분이 잘못된거 같았는데 그런거 같네여
저게 왜 유리수를 찾을 확률임? 0에서 1사이 수를 골랐으면 n번째 자리까지만 정해진게 아니고 모든 자리가 다 정해진건데.
그리고 이건 중요한건 아닌데 33이 순환=3이 순환이라서 겹치기도 함.
그냥 3 순환을 빼버려도 되지 않을까요? 딱 한개니까 극한으로 보내면 의미 없을거 같아서요...
저거말고도 그냥 세면 겹치는 경우는 지수함수적으로 많음. 근데 어차피 부등식방향이 좋은쪽이라 더 겹쳐세어도 사실 상관없음. 그게 논점이 아니고 애초에 n을 limit 보내서 계산할 수 있는 확률이 아님.
어떤 수가 유리수인지 아닌지는 n번째자리까지로 제한해서는 절대 알수가 없음. '순환하는 소수여도 유리수이다. k 순환마디를 가지는 n개의 수로 이루어진 소수일 확률은 (10^(k - 1)-1) 0.1^n라고 볼 수 있다.' 여기부터 틀림.
처음부터 틀림 1/10 이라는건 자릿수가 1개라고 고정한거임
내말을 이해못했을까봐 덧붙이자면 sample space의 크기가 니 입맛대로 바꾸고있다는것임 애초에 무한자리인데 어케하노
그냥 첫번째 자리가 x일 확률을 구하려고 한건데 다 동일하다고 가정하면 안되나요?
예를들어 0.29999.. 랑 0.3이랑 같잖아 본문처럼 계산하면 문제가 생길 수 있다는거 아님?
아 그렇네요. 걍 근본적으로 잘못된거 같네요