프리드버그 기준 서술
T가 정규(F=C)/자기수반(F=R)일 때 T의 서로 다른 고유값을 λ1,λ2,...,λn이라 하자.
Ti가 각각의 고유값에 대응되는 고유공간으로의 정사영이라 할 때
T=λ1T1+λ2T2+…+λnTn
이거잖음
근데 연습문제 중에 이렇게 스펙트럼 분해를 구하되
위에처럼 그냥 정사영을 Ti 이렇게 쓰지 말고 어떤 식으로 나타나는지 구체적으로 쓰라더라고
다른사람이 풀이한 거 보니까
각각의 고유값에 대응되는 고유벡터들을 정규직교화한 걸 열로 하는 행렬을 P라 하고
Eij가 (i,j) 성분만 1, 나머지는 0인 행렬이라 할 때
만약 고유값이 3,-1 이렇게 나왔다 치면
λ=3에 대한 행렬 : A1=P*E11P
λ=-1에 대한 행렬 : A2=P*E22P
라 할 때 T1=LA1, T2=LA2라 하더라
왜 이렇게 표현되는 거임?
---------------------------
원래문제
다른사람 풀이
고유벡터 써서 표현하라는거 아님? 너 말보다 그냥 문제 보는게 이해가 빠를거 같은데
글 수정함
스펙트럼 정리의 뜻이 적당한 기저에 대해 대각행렬이 된다는거고 그 말인 즉 고개를 잘 돌려보면 축을 잡아늘리는 변환가 같다는거잖아. 이 때 고개를 돌리는 변환을 구체적으로 적으란게 문제고...
P로 기저변환해서 회전해놓고 보면 (예를들어 T가 이미 대각행렬 A에 대해 L_A꼴이었다면) 그 때 정사엉이란건 어떤 거냐면.. eigenvalue에 해당하는 부분 빼고 나머지 성분을 날리라는 거니까
첫번째 성분이면 e1 은 e1으로, 나머지 ej는 0으로 보내는거니 E11일거고.. 나머지도 비슷하게 따져주면 Eii가 나오는거. 이제 저건 P좌표계로 적은 거니 원래 표준좌표계에선 저렇게 기저변환한 형태가 되야히는거고
직접 간단한 2 by 2 행열같은걸로 갖고 놀아봐. (1 0 ; 0 -1) 같은거면 1*L_{(10;00)} + -1 * L_{ (00;01) } 인거고..
계산이야 해보면 나오는 걸 알겠지만 왜 저렇게 되는지가 궁금해서.. 스펙트럼 정리의 뜻이 적당한 기저에 대해 대각행렬이 된다는 것부터 이해가 잘 안감
아 고유공간들의 정규직교기저 합집합해서 얘로 [T]β 만들면 대각행렬이 되긴 하네
ㅇㅇ 일단 기호가 그래거 그런제.. 정사영이란게 뭐 펀의상 벡터 v 하나로의 정사영이라면 v를 집어넣으면 v가 그대로 나오고 v랑 수직인거 넣으면 0 나오는 변환을 말하잖아. 즉 v랑 v 직교로 이루어진 기저에서 보면 v쪽으론 단위행렬, 나머지쪽으론 0행렬을 대각으로 붙여놓은 형태가 됨
이걸 받아들이면.. 이제 특정 v방향으론 3배 늘리고 나머지 축은 1배 늘리는 변환이라면 3배의 v기저쪽 정사영 + 1배의 V수직쪽 정사영이 되는걸 알고.. 각 정사영은 기저변환 -> Eii -> 기저역변환 을 합성하면 되는거...
아 무슨 소리인지 알겠다 글고 P가 기저변환행렬이란 거는 α가 표준순서기저라 할 때 P=[I](β→α)라서 그런 거임?
형태로 봐선 alpha->beta 인디?
오잉? A=(1 2 ; 2 1)을 예로들면 λ1=3, λ2=-1이고 각각 고유벡터가 (1,1), (1,-1)이니까 β={1/sqrt(2) (1,1), 1/sqrt(2) (1,-1)}이고 α={(1,0),(0,1)}이니까 P=(1/sqrt(2) 1/sqrt(2) ; 1/sqrt(2) -1/sqrt(2))하면 I(β→α) 아님?
어음.. 글게 뒤에 행렬 적은건 그게 맞는게 맞는데.. 기호가 오랜만에 보니 좀 헷갈리네.. 아무튼 행렬은 그방향으로 가면 맞음...
아음 잠깐잠깐.. 지금 너가한건 P* [T]_alpha P = D만든거 아니냐. [v_i]_beta =ei 나오게
아 애초에 내가 P를 잘못 잡은 거였구나
[I](alpha->beta) -> [정사영](beta->beta) -> [I] (beta->alpha) 순서임. 정사영이 beta기저에서 Eii꼴인걸 이용하는거. 순서가 저러니 함수합성이 뒤집혀서 오른쪽에 있는 P가 alpha->beta