[일반] 곡면으로의 미분가능한 함수를 R^3 로의 미분가능한 함수로 확장가능해?

[익명(122.34)]

M를 R^3에 놓인 곡면이라고 하자.

D를 R^2의 열린 부분집합이라 하자.

f : D ->M 을 미분가능한 함수라 하자. 

그러니까 M의 임의의 patch X에 대해, X의 상과 f의 상이 공집합이 아니면 합성함수 X^(-1) o f : U -> V 이 미분가능하다.

그러면 f : D -> R^3 도 미분가능해?

[익명(122.34)]

f의 미분가능성 정의에 의해 X^(-1) o f 가 미분가능하고, X는 patch 정의에 의해 X : W - >R^3 가 미분가능하다. 그래서 국소적으로 f = X o X^(-1) o f 이고 미분가능하니까 f :D ->R^3 도 미분가능하다. 이렇게 하면 되나

[익명(2.121)]

M에서 R^3으로 가는 inclusion이 미분가능해야지. 단적으로 M을 뾰족한 첨점이 있는 R^3 내의 곡면이라 하면, smooth한 patch를 주는건 가능할지라도 M에서 R^3으로 가는 inclusion은 뾰족한 첨점 때문에 미분가능하지 않고, 마찬가지로 그 첨점 근방에서의 map도 R^3 위에서는 미분 불가능함.