30단원 example 2번입니다.
유니폼 토폴로지에서 R^w가 second countability가 아니다.
이거가 잘 이해가 안되더라구요
대충 마지막 결론 보니까 0과 1로 된 수열( in R^w)들의 집합을 A라고 하면 uncountable이니까 이러한 수열 하나를 하나의 원소로 보고.
서로 다른 원소를 서로 다른 basis에 대응시키면, countable한 basis를 가질 수는 없다. 이렇게 대충 이해했는데..
증명 초반에 To verify this fact, we first show that if X is a space having a countable basis, then any discrete subspace A of X must be countable. 이라고 했는데.
결국 책의 증명은 이거의 대우 취해서 uncountable이니까 not having countable basis 이런 논리가 맞을까요?
쓰다보니까 알거 같기도 하면서 너무 헷갈리네요. 20단원인가 거기 할때도 R^w 이거만 나오면 조금씩 헷갈렸는데 ㅠㅠ
유니폼 토폴로지에서 R^w가 second countability가 아니다.
이거가 잘 이해가 안되더라구요
대충 마지막 결론 보니까 0과 1로 된 수열( in R^w)들의 집합을 A라고 하면 uncountable이니까 이러한 수열 하나를 하나의 원소로 보고.
서로 다른 원소를 서로 다른 basis에 대응시키면, countable한 basis를 가질 수는 없다. 이렇게 대충 이해했는데..
증명 초반에 To verify this fact, we first show that if X is a space having a countable basis, then any discrete subspace A of X must be countable. 이라고 했는데.
결국 책의 증명은 이거의 대우 취해서 uncountable이니까 not having countable basis 이런 논리가 맞을까요?
쓰다보니까 알거 같기도 하면서 너무 헷갈리네요. 20단원인가 거기 할때도 R^w 이거만 나오면 조금씩 헷갈렸는데 ㅠㅠ
그리고 혹시 유니폼 토폴로지가 아니고 그냥 box나 product여도 같은 결론인거 맞나요?
box가 uniform보다 finer해서 box에서도 countable basis 갖을 수 없고, product topology는 2nd countable인걸 따로 보일 수 있음
{0,1}^w 가 discrete subset이라는 게 핵심 아닐까? Box에서도 맞을텐데 product에서는 아닐듯
댓글 감사합니다. 위에분 말도 읽어보니 감이 오긴하네요.. product는 좀 더 생각해볼게요..
(1) discrete subspace의 각 원소는 (mutually) disjoint open neighborhood를 갖고, 그 원소를 포함하고 임의의 open set보다 작은 basis element는 (basis 정의에 따라) 존재하므로 basis의 원소의 개수는 discrete subspace의 원소의 개수 이상이 됨 (2) 윗댓 말처럼 대우 취해서 uncountable discrete subspace가 존재하므로 basis는 uncountable 이상이라는 결론이 나옴
댓글 감사합니다. 뒷부분은 잘 이해가 되었어요! discrete subspace를 다루는게 뭔가 좀 헷갈리긴하는데, 이해는 됐습니다!