ㅈㄴ 지겨울테지만 빨대에 구멍이 몇개나는 걸 이제야 봐서 묻는 말임
아는 지식이 기본적인 학부 지식까진데 아는 대로만 생각해보면 실린더랑 원이 호모토피 이퀴발란스니까 구멍이 하나다 라고 생각하고 있었음. 근데 이렇게 생각하자니 위상 공간에서 구멍이란 게 뭔지 정의도 모르겠고 호모토피~ 라고 구멍 수가 같다거 해도 데는 건지 모르겠더라고
그래서 검색을 좀 해보니까 다 호몰로지라는 거로 설명하는 거임 근데 나 위상1,2다 들어도 저런 거 구경도 못해봤거든? 혹시 뭔 책을 살펴봐야 저 내용 벌 수 있는지 알려주라. 대충 호몰로지를 찾아봐도 이해가 잘 안 돼서 차분하게 위상 책이나 한 번 보려고 함
내가 수학이랑 전혀 상관없는 거 하는 사람이니까 되도록이면 쉽고 친절한 걸루다가
아는 지식이 기본적인 학부 지식까진데 아는 대로만 생각해보면 실린더랑 원이 호모토피 이퀴발란스니까 구멍이 하나다 라고 생각하고 있었음. 근데 이렇게 생각하자니 위상 공간에서 구멍이란 게 뭔지 정의도 모르겠고 호모토피~ 라고 구멍 수가 같다거 해도 데는 건지 모르겠더라고
그래서 검색을 좀 해보니까 다 호몰로지라는 거로 설명하는 거임 근데 나 위상1,2다 들어도 저런 거 구경도 못해봤거든? 혹시 뭔 책을 살펴봐야 저 내용 벌 수 있는지 알려주라. 대충 호몰로지를 찾아봐도 이해가 잘 안 돼서 차분하게 위상 책이나 한 번 보려고 함
내가 수학이랑 전혀 상관없는 거 하는 사람이니까 되도록이면 쉽고 친절한 걸루다가
대수위상 hatcher
알고있을만한거로 얘기하자면 curl을 취하고 div를 취하면 0이 되는건 알고있지? 여기서 curl을 2차원 diff form을 1차원, div를 1차원을 0차원으로 보내는 놈으로 생각할 수 있고, 이걸 더욱 일반적으로 n->(n-1)차원으로 확장시킬 수 있음
(여기서 differential form은 differentiable multilinear alternating funtional on tangent space인가로 정의되는데... 엄밀한 정의는
http://mathworld.wolfram.com/Differentialk-Form.html
나 책을 보셈 암튼 공간에 의존하고, 미분 2번하면 0되는게 중요)
미분이 아니라 앞에서 말한 연산
앞에서 말한 연산을 보통 d로 나타내고(미분할때 그 d), d^2=0 이런식으로 표기함. 근데 여기서 드는 의문이 어떤 form alpha에 대해서 d alpha=0이면 alpha = d beta의 형태일까?란거임(3차원 등에서 얘기하자면 closed form은 exact한가?정도)
Rn같은 볼록공간의 경우 푸앵카레 보조정리에 의해 실제로 저게 성립하지만, 구면이나 원점이 빠진 R3등과 같은 공간은 저게 성립하지 않음. 하지만 이 form들은 대수적 구조(group)를 가지고, d 역시 대수적 구조를 가짐(homomorphism) 또 d를 취했을때 0이 되는 놈들은 그 위의 차원에서 d를 취해서 얻을 수 있는 애들을 포함하니까
잘 모르겠다 얘 그래도 책 추천 고마워 한 번 찬찬히 보면서 모르는 건 갤에 물어볼께
이 둘의 quotient group을 생각할 수 있음(H^n= ker d/im d이런 식으로 쓰고, 차원을 구별하고 싶으면 d_n처럼 첨자를 붙이거나 ker d_n= Z_n,Im d_n+1=B_n처럼 이름을 따로 붙여놓기도함) 이런 H^n은 homeomorphism 등에 대해 불변이고, 공간들을 분류하는데 큰 도움이 됨. 이 H^n 구조를 코호몰로지라함
호몰로지도 비슷하게 정의됨. 아예 호몰로지로 코호몰로지를 정의하기도 하고 코호몰로지가 더 대수적 구조가 풍부하다는데 난 아직 잘 모르겄고 음튼 d와 같이 2번취하면 0이 되는 연산들에 대해 이런 H구조를 논하고 이걸 이용해 공간을 분류하는데 등에 써먹는다고 보면 됨
대표적인 예시로 euler characteristic을 호몰로지로 재정의할 수 있고 얘는 homeo 등에 불변이니까 공간분류에 유용한 한 지표가 됨 즉 호몰로지는 euler char등을 포함하는 공간을 나타내는 더 강력한 도구라고 보면 됨 진짜 존나쌔서 뒤로갈수록 더 많이 써먹는거로 아는데 갤에 나같은 좆밥보다 많이 아는 사람은 많을거임
그래서 결론으로 빨대구멍은 몇개임?