[일반] 아래 변분법 문제 Re

[익명(92.38)]

텍 쓰려니 현탐와서 손으로 씀. 날이 추워 손이 광광 얼어서 글씨가 좆같으니 양해바람.

어제 그리고 답 달고 생각해봤는데 직선경로가 최단경로라는건 경로의 거리의 정의를 이용하면 변분법 없이도 자명하고, 원호를 따라 움직인 최단경로도 변분법 없이 할 수 있긴한데 좀 복잡하긴 했음.

[익명(92.38)]

아 그리고 본문에서 p가 y=1위에라고 할때 위의 의미는 위치상으로 위쪽이라는 뜻임. p점이 직선 y=1에 놓인다는게 아님.

[익명(92.38)]

아 p가 y=1아래일때 y절편이 왜 반드시 (0,1)이어야하는지 설명이 좀 부족하네.

[익명(118.235)]

설명 굿. (0,1), (-1/2,sqrt(3)/2)을 반드시 지나야하는 부분이 조금 어려운데 자세히 가능?

[익명(92.38)]

일단 (-1/2,sqrt(3)/2)를 꼭 지나야 하는 이유는 p에서 (-2,0)으로 향하는 경로가 최단이 돼야하는데, 마침 p가 (-1/2,sqrt(3)/2)에서 내린 접선 위에 있고 이 접선이 (-2,0)을 지남. 따라서 p와 (-2,0)을 있는 경로는 무조건 접선이고, 따라서 p에 상관없이 꼭 (-1/2,sqrt(3)/2)를 지남. (0,1)을 반드시 지나야 하는 이유는 다음과 같음: 만약 p가 y=1아래에 놓이고 이때의 "최단경로"가 y축을 y좌표가 1보다 큰 지점에서 지난다면 p에서 그 점까지 갈때 반드시 y=1을 지나야함. 그럼 이 교점을 q라 부르면 q에서 y축의 점까지의 거리는 직각삼각형의 빗변의 길이이므로 q부터 0,1까지의 거리보다 크게 됨. 따라서 이 거리를 최소화하려면 반드시 (0,1)

[익명(92.38)]

또한 지나야 함. (0,1)을 왜 지나야하는지를 본문에 써놨어야하는데 내가 좀 성급하게 업로드했네.

[익명(118.235)]

오케이. 이해했음. 완결한 풀이인듯

[익명(211.224)]

무조건 지나는 점을 찾는과정이 ㄹㅇ소름이네

[익명(121.147)]

오 완전히 이해됐다. AC를 지나는 p를 기준으로 할 생각을 못했네. 긴 답변 고마워. 나머지도 다 해결될듯.

[익명(121.147)]

혹시 원호 위 최단거리 찾는거 어떻게 했는지 개요만 대충 알려줄 수 있어? 비슷하게 점 찾아서 하는거임?

[익명(118.235)]

이거는 polar coordinate로 곡선 길이 식 적고 constraint r>=1 생각하면 될듯

[익명(92.38)]

굿. 이제 진짜 어려운 문제는 변분법 없이 (-1/2,sqrt(3)/2)에서 (0,1)까지 원호 바깥을 돌아 가는 최단경로가 원호를 따라가는 경로라는걸 보이는거임 ㅋㅋ 아마 (-1,0), (1,0)사이에 존재하는 볼록함수의 그래프 위쪽으로 지나가는 (-1,0), (1,0)을 잇는 최단거리 경로는 볼록함수의 그래프라는걸로 일반화 될 것같은데 깔끔한 증명은 아직 못찾았음. 근데 가능은 함.

[익명(92.38)]

아 적고 있는 사이에 댓글이 달렸네. 잠깐만

[익명(92.38)]

polar coordinate를 쓸 수 없는 이유가 곡선이 theta에 대한 함수라는 보장이 없어서 그렇게 할 수가 없음. 함수라는 조건을 가정하면 변분법 쓰면 되고. 애초에 이 풀이가 나온 이유가 곡선을 함수의 그래프로 제한하는 변분법의 한계때문.

[익명(121.147)]

후...일단 엄청 고맙고 나머지는 더 생각해볼게. 감탄하고감

[익명(92.38)]

도움이 됐다니 다행이네.