f(x)는 x=0에서 연속인 함수이고
lim h->0 (f(2h)-f(-h))/h가 존재한다.
이때 f(x)는 x=0에서 미분가능 한가?
결론은 "아니다"로 내렸는데 이에대한 반례를
고등과정으로 찾을순없는것같아 질문합니다.
( f(x)-f(0) )/x = g(x)라 할때
lim x->0 ( g(x)-g(-x) ) = 0 이지만
lim x->0 g(x) 가 존재하지않게하는 f(x)가 있으면될거같은데
반례가 궁금합니다.
- dc official App
문제 제대로 적은거 맞음?
네 - dc App
lim h->0 (f(2h)-f(-h))/h에서 2h대신 h이면 미분이 안될수도 있는건 맞음. 근데 2h가 맞다면 네가 그 아래에 적어놓은 내용이랑 양립할 수 없어서 확인하는거임.
h일땐 절댓값x라는 반례가있고, 2h면 평균변화율의 우극한 좌극한 둘중하나가 존재하면 동시에 같아야하기때문에미분가능이 되기때문에 평균변화울 우극한 좌극한이 발산하는반례가있겟죠 근데그걸찾을수가없어서요 - dc App
그 얘기가 아니라 lim x->0 ( g(x)-g(-x) ) = 0 이지만 lim x->0 g(x) 가 존재하지않게하는 f(x)가 있으면될거같은데 라는 식을 lim h->0 (f(2h)-f(-h))/h, f(x)/x = g(x)에서 어떻게 도출한건데. (f(0)=0으로 가정)
적절히 변형을 하면 결국 저걸 찾는 문제로바꿔진다고 생각할수있습니다 - dc App
난 멍청해서 니가 어떻게 그 식을 얻었는진 모르지만 두번째 질문에 대한 답은 f(x) = x sin(1/x^2) 취하면 된다.
1번조건을 2g(0+)+g(0-)=2g(0-)+g(0+) 로 생각할수있잖아요.그러면 수렴하는 극한의기본성질을 쓰면 그렇게변형이되죠. - dc App
lim x->0+ 2g(x)+g(-x) = lim x->0- 2g(x)+g(-x) 인데 우변은 lim x->0+ 2g(-x)+g(x)로 바꿀수있으니까요 - dc App
저는 저런걸 찾아보면 되지않을까라고 시도한거지 저 두번째조건이 필요충분이라 확정짓지는않았으니까요 - dc App
쓴조건들 중간에 x들을 2x로 몇개바꿔주세요. - dc App
xsin(1/x^2)은 1번조건에서 진동발산을 해버리는거같아요 - dc App
쏘리 실수했음
잠깐만 니말이 안맞다. 2x때문에 그렇게 바꿔봤자 그냥 순환논법임. 아무것도 얻는게 없다.
lim x->0+ 2(g(2x)-g(-2x))+g(-x)-g(x) =0인데 저 두놈다 0으로가지만 각 극한은 존재하지않으면 미불이면서 저극한은 0에수렴이라되지않나요? - dc App - dc App
lim x->0 g(x)는 존재하면 미분가능해지니.. - dc App
필요충분이 아니지만 반례를 찾을때는 필요충분일 필요는없어서 그렇게접근햇어요 - dc App
lim g(x)-g(-x)랑 lim g(2x)-g(-2x)랑 둘 다 0으로 간다는 보장이 어디있냐. 니가 원 글에 적어놓은 조건에선 g가 0 근방에서 좌우대칭이라는 결론을 얻을 수 있지만 실제로 얻는 공식에선 아무것도 도출할 수 없음.
그래서 필요충분 조건이 아니라고 한거에요. 그게 저 조건을 만족하는 모든함수의특성은아니지만 그 특성을 가진 함수는 저조건을 만족시키잖아요. 반례로 쓰기에는 문제가없지않나요? - dc App
솔직히 난 니가 무슨말을 하려는지 잘 모르겠다. lim g(x)-g(-x)=0라고 선언하는 순간 넌 애당초 하지 말아야할 가정을 하는건데, 이런 추가 가정을 하고 얻는 반례가 어떻게 원 질문에 대한 반례가 되냐. 예를들어 1000원 안쪽으로 물건 사와 이러면 400원 안쓰고 남은 600원만 쓰고 물건 사와도 조건을 충족하는거지만 넌 여기에 1천원 더해서 2천원 한도내에서 물건 사는셈인데.
반례는 충분조건에서 찾아도 무방하다 알고있는데, 아닌가요? 흠 제가 제시한 조건 하에서, 문제의 조건을 만족시킴이 확인되면 그특성을 만족하는 함수중에서 반례를 찾아도,문제가없다고생각하는데, 틀린거라면 왜틀렸는지궁금해요 - dc App
이건 충분조건 필요조건 이런게 아니라 그냥 다른문제를 만들고있잖아. lim g(x)-g(-x) = 0 라고 선언하면 결국 lim [f(x)-f(-x)]/x = 0이라고 선언하는건데 이거랑 원 조건이랑 서로 아예 다른 조건이잖아.
지금 네가 생각하는 문제는 실수 중에 ~~하는 수가 있음을 보여라 이런 문제에서 실수가 아니라 더 타이트한 집합인 무리수나 유리수 안에서 주어진 조건을 만족하는 수를 찾는걸 생각하는것같은데 네가 지금 하는건 ~~하는 조건 자체를 바꿔버리고있음.
lim ( f(x)+f(-x) )/x =0이지않나요? - dc App
충분조건으로 구한 것이기 때문에 문제 될 것이 없는데 .. 이 조건하에서 처음제시한 조건은 무조건만족시킴이 보장돼서 - dc App
lim h->0 (f(2h)-f(-h))/h가 존재한다. 라면서
네 그러니까, 충분조건으로얻은게 아래식이고, lim ( f(x)+f(-x) )/x =0이면 lim (f(2h)-f(-h))/h가 존재한다.가 참이잖아요. 그럼문제될게없죠 - dc App
지금 제가하고싶은 얘기는 결국이거에요. P이면Q 가 거짓임을 보이고싶은데 P에해당하는 원소중 어느하나라도 Q가 아님을 보이는거로충분하니 P를 만족시키는 그어떤걸 가지고오더라도 반증에는 충분하다는것이죠. - dc App
물론 제가 글에서도 썻다싶이 저런꼴로 잇으면될거같은데..라고 한거니 제가 제시한 충분조건이 알고보니 전부 Q일수도있지만,저는 시도를 하기위해 저렇게해보면 어떨까.라고 한거라.. 참거짓을 모르는상태에서 저시도자체가 그르다고 보진않아서요 - dc App
뭔소리야 f(x)= x sin(1/x).
lim ( f(x)+f(-x) )/x =0이 아니라 니가 써놓은대로면 lim ( f(x)-f(-x) )/x =0이지
그냥 두 조건 lim ( f(x) - f(-x) )/x =0 (가운데 마이너스임 자꾸 플러스로 바꾸지마셈)랑 lim (f(2h)-f(-h))/h가 존재한다 는 완전히 다른 조건임. 어느 한쪽도 다른 한쪽을 의미하지 않음.
g(-x)의 분모도 -x로 돼서 +로돼요. - dc App
-g(-x)는요 - dc App
그래도 안되는건 매한가지임. f(x)=x^(1/3)
lim x->0 ( g(x)-g(-x) ) = 0 이지만 lim x->0 g(x) 가 존재하지않게하는 f(x)가 있으면 이라고 했는데 왜 두번째는 무시하는건가요 - dc App
허수아비공격은 하지말아주세요 - dc App
못알아 듣는거임 아니면 고집임? 처음에 네가 요구하는 조건 다 만족하는 함수 줬잖아. f(x) = x sin(1/x^2). 이거면 g(x)=sin(1/x^2)이 니가 제시한 조건 두개 다 만족하지만 f(x)가 반례가 안되잖아. 네 말대로 이게 "충분조건"이면 어떻게 f(x)가 반례가 아닐 수 있냐.
정리를 할게요..f(x)는 x=0에서 연속인 함수이고lim h->0 (f(2h)-f(-h))/h가 존재한다.( f(x)-f(0) )/x = g(x)라 할때lim x->0 ( g(x)-g(-x) ) = 0 이지만lim x->0 g(x) 가 존재하지않게하는 f(x)가 있으면될거같다고 한게, 저게 후보군이라는 것이지 - dc App
당연히 저 조건만 만족한다고 무조건 반례가아니지요. 그냥 저런식으로 세팅한거중에서 반례를 찾을수있을까 한시도이고 그때에서의 충분조건이라는거에요. 충분조건인 모든저함수가 반례가된다는게 아니라 - dc App
그리고 위에서 제가계속 말했던 거는 "제가 제시한"조건들을 모두만족시킨다는거고 x=0에서 미분가능까지 자동으로 반례된다고한적은없습니다. 그건 조건이아니라 묻고자하는것인데.. - dc App
서로 계속 상대 의도를 계속 잘못 파악못해서생기는 문제인거같네요 - dc App
제가 끌어낸 충분조건이 제가제시한 조건은 모두만족시키니 혹시 이함수 후보에서 반례가생길수있지않을까 한거지요. - dc App
그런데 반례안생기는거들고와서 다른조건이라고하는게 좀 이해가안되네요. 제가 끌어낸 조건이 무의미하던뭐던간에 저 후보군에서 x=0에서 미분가능이 아닌 반례가 아예생길수없는게아니라면 충분희논의가있을텐데요. 반례가능성만있어도 - dc App
누차강조하지만 "제가 제시한 조건들"은 모두만족시켜서 충분조건이라한것이지 모든게 x=0에서 미분가능하지않다고한게아니잖아요. - dc App
왜 조건이 아닌 제가묻고자하는거까지 조건으로 치부하고 이거 성립안하니 충분조건 아님 하시는지모르겟네요 - dc App
얘는 충분조건이 뭔지 모르는거같은데 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
충분조건에 해당하는 함수가 전부 x=0 미분가능하지않은 반례가된다는 것이아니라 충분조건으로 상황을 좁힌후 여기서 반례를 찾아본다는 접근입니다 결국 요지는 - dc App
그리고 저는 반례가 궁금해서질문한거였는데 갑자기 재질문으로 핀트가 잡혀서 결국 제답변은 몇시간째받지도못하는군요 ㅡ; 저거는 저의 시도였던거고..저는 반례가궁금한겁니다. 저 시도가 틀린가아닌가로 논쟁이되는게이상하네요 - dc App
일단 네 풀이 자체엔 반례가 있으니 틀린건 맞음. 왜 틀린건지 스스로 납득하지 않는것같지만...
https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=math&no=24219&page=1
실제로 미분가능하다는걸 증명가능하니 반례가 안나오죠..