[대학교이상] 실수를 단순히 infinite decimal로 정의하면 안 되나요?

[익명(59.23)]

rudin pma로 해석을 공부했는데, 그 때는 유리수 + lub property로 실수를 구성할 수 있다는 걸 배웠습니다. 돌이켜보니 왜 그렇게 어렵게 실수를 구성할 필요가 있는지 잘 모르겠어서 질문드립니다.

대수 같은 교재에서는 실수의 완비성같은게 관심대상이 아닌지라 infinite decimal로 퉁치고 넘어가더라고요. infinite decimal로 정의했을 때, 발생하는 문제가 있는 건가요?

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[익명(92.38)]

할 수는 있음. 하지만 안하는 이유는 0.99999...=1의 문제처엄 한 숫자를 나타내는 representation이 유일하지 못해서 좀 세심하게 구성해야함.

[카카오(73.146)]

infinite decimal로 정의한다는 말이 결국 유리수의 코시수열로 정의한다는 말처럼 들리는데, 그렇게 정의도 가능하고 데데킨트 컷(PMA정의)랑 동치일거에요

[익명(223.38)]

예전에 읽은 글(수학교육쪽 학술지)에서는 (1) "비순환 무한소수를 생각할 수 있다는 점이, 이러한 기호가 나타내는 수가 정말 있다고 주장할 수 있는 근거가 될 수 있는가? 또한 이 설명대로 비순환 무한소수 기호에 대응되는 어떤 수가 있다고 가정한다면, 이 수는 '비순환 무한소수 기호에 대응되는 수'라는 것 이외에 어떤 다른 쓸모가 있는가?" 라는 의견도 있고, (2) 무한소수 기호는 산술적으로 불투명한 성질을 가진다. 예를 들어 0.135791234...+1.123458765... 라는 덧셈은 소수점 아래 여섯번째부터 9999... 가 반복되어서 소수점 아래 다섯번째 수가 무엇인지 결정할 수 없다는 문제도 있고,

[익명(223.38)]

(3) 0.101001000..., 3.141592... 같은건 그냥 대충 규칙이나 생긴 모양을 보고 순환하지 않는 무한소수이니 무리수를 말하려고 하나보다 라고 보는게 일반적이지만, 실제로 저것만 보고는 저게 순환소수(유리수)인지 무리수인지 판단하는건 불가능하다 라는 문제도 있다고 하네요

[ns(qwer2357)]

가능하고 실제로 동치가 되는데, 그 정의로 해석학책에 있는 뭐 하나 증명하려고 하면 거의 결국 기존 이론에 해당하는 뭔가를 보이게 됨.. 그리고 10진법 말고 2진법 무한소수, p진법 무한소수.. 들이 다 같은 수체계인지 어쩐지 따지고 하다보면.. 그런 거에 의존하지 않는 정의가 좋은 정의구나 하는 생각을 하지.