4n⁴-2n²+4n-m²+m=0을 만족시키는
모든 자연수 순서쌍 (n,m)에 대해
m=P(n)이라 할때, P(n)을 구하여라.
<풀이>
(1,3)이 조건을 만족시킨다.
이제
(1,3)외에 조건을 만족시키는
다른 순서쌍은 존재하지않음을 증명한다.
f(x)=x²+(4n²-1)x-4n이라 놓고 f(x)=0이 자연수 근을 갖는다고 가정하자.
f(x)=0을 만족시키는 두 근은 근의 공식을 사용하면
(1-4n²+-sqrt((4n²-1)²+16n))/2 인데
이 근 중 하나가 자연수가 되려면
(4n²-1)²+16n이 홀수인 제곱수가 되어야한다.
(4n²-1)²+16n=(2m-1)² 으로 놓으면 (m은 자연수)
4n⁴-2n²+4n-m²+m=0을 만족시켜야
f(x)가 자연수 근을 갖는다.
그런데
f(x)=x²+(4n²-1)x-4n 이므로
f(1)= 4n(n-1) 은 n이 1보다 큰 자연수일때 양수이다.
근과 계수와의 관계에 의해 f(x)는 자연수 근을 갖는다면
반드시 음의 정수인 근을 갖는다.
그런데 f(1)은 n이 1보다 큰 자연수일때 양수이고
f(x)=(x+(4n²-1)/2)²-4n-(4n²-1)/4 의 대칭축이 1보다 작으므로
근의 분리에 의해 n이 2이상의 자연수이면 f(x)는 x>=1인 범위에서 실근을갖지못하므로 f(x)가 자연수근을 가지려면
n=1 이어야 한다.
따라서
4n⁴-2n²+4n=m(m-1)=0을 만족시키는 자연수 순서쌍
(n,m)은 (1,3)이 유일하다.
따라서 P(n)=3
씨발 고1수학인데 풀이보고 미친거같아서 질문남김
이걸대체어떻게생각함?
- dc official App
풀이가 많이 복잡하네 난 2n^2(2n^2-1) < m^ (m-1)=2n^2(2n^2-1)+4n <= 2n^2(2n^2-1)+4n^2=2n^2(2n^2+1)로 풀었음 어떤 풀이든 정수근 조건으로 푸는거긴함
이걸 고1이어케생각함 ㄷㄷ - dc App
a^2-b^2=상수 꼴의 문제는 기본적인 유형이니까 저기서 제곱을 변형할 생각을 갖는게 중요하겠지
본문풀이는 너무갑자기인데 본문풀이는 쓰레기임? - dc App
당위성이 0인데 - dc App
본문풀이도 순서를 논리 순으로해놔서 그렇지 발상의 시작은 잘 나와있음 (4n^1-1)+16n =(2m-1)^2 얘도 결국 제곱-제곱형태로 바꿔놓고 시작한거지
깊은 수학에서도 저렇게 안드로메다에서떨어진 발상으로 기가막히게해결하는경우많음? - dc App
그러니까 논리순서대로만 써놔서 해석을 하는걸 추가로 독자가 해야되게 - dc App
그니까 저건 모범답안으로는 맞는데 문제집등의 이해를 돕기위한 풀이로 저따구로 써놓는건 개인적으로 좀 문제가 있다고 생각함
어디가 미친거같다는거임? 흔한 풀이인데
고1때 다 저렇게함? - dc App
고1은 아니어도 중딩경시정수론만해도 제곱꼴 변환은 기본장착해둬함.. 근데 통상 학교 커리큘럼이면 익숙하지 않을 수 있지 ㅇㅇ 경시랑 구분할려고 굳이 근의 공식으로 푼거 같은데 오히려 글쓴이 생각대로 역효과였던 같다.
무슨 문제집임? 평범한 수준의 고1 문제는 아닌데ㅋㅋㅋㅋㅋ
풀어보니까 블랙라벨 삘나네
문제 스타일이 도쿄대 본고사같은데. 경시대회 수론 문제 중에 저런 유형은 이미 흔한거여서 경시대회 아무거나 해봤으면 익숙할거긴 함. 나는 1. 고등학교 수학을 마스터하고 싶다. 2. 우리 학교 선생이 저런 문제를 낸다. 이 두 가지 중 어느거에도 해당되지 않으면 저런거에 너무 연연해하지 마셈. 지금 한국 고등학교 교육과정에서 물을 문제가 아닌데? 내가 맞다면 지금 저런 부정방정식 문제는 교과 외 문제이고 교과 내 있을 때도 저런류의 문제는 경시대회 아니면 보지도 못했음.