[일반] 위상 진짜 조가튼거

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

S3는 속이찬 도넛 두개의 표면을 잘 붙이면 됩니다
설명 : 직접 해보면 되요
씨발 장난하나 갸아아아악

[익명(14.36)]

조회수 7에 비추 4개면 그냥 비추 주작 테러라고 봐야겠지?

[ㅅㅈㅇㅁ(119.202)]

?? 도넛을 어케해야 S^3가 되냐? 아닌 거 같은데

[ㅅㅈㅇㅁ(119.202)]

S^2 × S^1은 될 거 같은데 저건 모르겠는 걸

[ㅇㅇㅇ(218.50)]

교수님이 IMO 출신이라 그럼 ㅋㅋ

[Crime(thecrime)]

S^3는 4-dimensional unit ball (혹은 그냥 unit cube라고 생각해도 무방) D^4의 경계이고, D^4=D^2 × D^2 이므로 ∂D^4=(∂D^2 × D^2) ∪ (D^2 × ∂D^2) = (S^1 × D^2) ∪ (D^2 × S^1) 이 되어 union of two solid tori가 됩니다. 두 Solid tori의 교집합은 ∂D^2 × ∂D^2 = S^1 × S^1 이니까 Usual Torus가 됩니다. 4차원에 들어가 있는 도형을 단순히 앉은 자리에서 상상력으로 때우려하니까 당연히 의미가 안 와닿는게 지극히 정상입니다.

[Crime(thecrime)]

그나마 저건 굉장히 유명한 예제라 여러 방면으로 다양한 설명이 가능합니다. 두 개의 Solid torus를 표면을 따라서 붙이는 것은 분명 맞는 이야기지만 그게 3차원 공간도형이 아니라 4차원 공간도형이라 보통 3차원에 들어가있는 Torus처럼 생각하면 아무리 생각해도 그림이 안 그려지거든요. Clifford Torus 를 유튜브에 찾아보시면 여러 갖가지 방법으로 사람들이 시각화를 시도한 것들을 보실 수 있습니다. 뭐 받아들이는건 개인차이고 저 역시 상상력이 부족하기 때문에 잘 감이 오지 않는 부분도 있지만, 그냥 가끔 저런거 보면 재밌긴 하거든요.

[ㅅㄲㅁㅇ(as1392)]

S3를 R3U inf로 놓고 R3를 int D3로 본다음 tori 2개 엮어놓고 점하나 뺀다음 intD3랑 homeo잡는식으로 하긴했는데 이걸 넘어가는게 그냥 하면됩니다라니 겨아아아악

[익명(143.215)]

본문 설명은 사실 정확하지 않음. 진짜로 '잘' 붙여야만 S3가 나오지. 그냥 막 붙이면 보통은 lens space가 나옴

[Crime(thecrime)]

네, 올바른 지적입니다. Torus S^1 × S^1 에는 automorphism이 많기 때문에 두 solid tori의 경계를 붙일 때 적당히 뒤틀고 돌리고 감는 방법이 다양하게 있죠. 붙이는 방법에 따라서 S^3, S^1 × S^2, RP^3 등이 다 나왔던거 같은데... 일반적으로는 L(p,q)가 나오겠죠.