답은 맞지만
ㄴ,ㄷ 해설 설명을 저렇게하면안되는거아닌가요?
추가적으로 더따져야하는데 완전히생략하고 결론만 내놓은것같은데 어떤가요?
자칫 잘못이해할 가능성이 너무다분한 해설인데
ㄴ같은경우는 1하나만 실근이어도
알파가 근 , 1/알파 도 근을 만족하는데 왜저렇게설명한건지..
다른이유로 중근임을 보여주어야되는데왜저렇게한거죠
ㄷ도 그렇고요. 알파,1/알파 3개 이렇게 네 근이면 안될텐데.. (이런게없음을 보이기위해, 네 근의 곱이 1임이랑 추가적으로 이용해야하는데 완전히생략..ㅡㅡ;)
추가적으로 이래서 이렇다를 말해주기엔
해설이 너무빈약한거같은데
- dc official App
ㅇㅇ
인수정리가 있어야할거같은데
잘못됨. 저 명제를 집합으로 보면 A를 방정식의 해의 집합이라 할 시 "a∈A이면 1/a∈A이다."인데 a=1인 경우 이 명제는 동어반복명제에 불과함. 해당 명제만으로 ㄴ.의 명제를 유도할 수 없음. 다항식이니까 그냥 아다리가 맞은 것 뿐이지. 풀이를 올바르게 하려면 A가 항상 {p, q, 1/p, 1/q} 꼴이고 방정식의 해의 개수는 항상 4개이며 모든 근의 곱이 1임을 이용해야함. p=1이라면 n(A)가 4가 아니게 되니 중근이 반드시 존재해야함. 이 때 가) q=1 나) q=-1 다) q^2=/=1 로 나눌 수 있음. 가)의 경우 A={1}이니 당연히 1이 4개(4중근)임을 의미. 나)의 경우 A={1, -1}이고 모든 해의 곱이 1이니 1, 1, -1, -1 말고는 다른 조합이 없음.
다)의 경우 A={1, q, 1/q}로 모든 해의 곱이 1이 되려면 1이 2개, 즉 중근이어야만 함. 따라서 1은 중근일 수 밖에 없음. 문제의 의도는 해당 방정식은 항상 a(x-p)(x-1/p)(x-q)(x-1/q)=0 꼴로 변환 가능함을 이용하란 것 뻔함. 근데 저렇게 설명하면 안됨.
왜 항상 a(x-p)(x-1/p)(x-q)(x-1/q)=0 꼴로 변환 가능한지는 보기 ㄱ.만 갖고 단정지을 수 없음. alpha=1/alpha인 경우에 대해서 따로 논해줘야하거든.
역시 잘못된거였군요. 콴다에도 올려서 카이스트 콴다쌤한테도 물었는데 해설지랑 똑같게푸셔서..제가 잘못된건가햇네요.. - dc App
ㄱ을 통해서 주어진식이 (x-알파)(x-1/알파)을 인수로 가진다는걸 알고 본다면 빈약해보이진않음. 윗 댓 말대로 근과계수 관계 배우기전에 인수정리를 배우니까 빈약한 풀이라고 보긴힘듬
인수정리를 통해서 중근 여부를 절대 판단 불가능함. 인수정리는 다항식 f(x)에 대해 f(a)=0일시 (x-a)를 인수로 가진다는 얘기로 어떤 일차식을 인수로 갖는지 안갖는지 여부를 판단해주는 정리임. (x-a)^2을 인수로 갖는지는 인수정리만으로 알 수 없음. 그래서 나중에 미적분에서 도함수를 이용해 (x-a)^2을 인수로 갖는지 판단함.
(x-a)랑 (x-1/a)를 인수로 갖고, a=1라고 하는거면 최소한 (x-a)^2를 인수로 가져야 하는거아님?
미분을 배우지않고 푼다고하면 x-1로 저식을 직접나누었을때(조립제법사용) 몫에다 x=1대입한결과가 0이됨을 보여서 1이면 중근임을 보일수있는것같아요. 같은방식으로 -1도 중근임을 보일수있고 이를통해 ㄷ을 말할수잇다고 생각햇어요 - dc App
잘 생각해보세요. x^2-a^2=0인 방정식을 풀때 t를 해로가지면 -t도 해를 가진다. 이 문장을 통해서 x^2-a^2=(x-t)(x+t)를 이끌어내야합니다. 이게 ㄱ이 하고자 하는말이구요. 결국 인수분해 형태로부터 ㄴ을 풀어야하는겁니다.
210님이 뭐라고 말씀하시는지 잘 못 알아듣겠는데 그냥 a(x-p)(x-1/p)(x-q)(x-1/q)=0 꼴로 당연히 변환 가능한거 아닌가요 ㄱ에서 유도되는 바에 의하면?
결론적으론 맞지만 그거에 대한 설명을 할때 p=1 or -1일때의 경우를 명확히해줘야 그게 된다고 확실하게 말할수있는거같아요. - dc App
그 논리의 근거는 f(alpha)=0이고 f(1/alpha)=0이니까 (x-alpha)(x-1/alpha)를 인수로 갖는다 것에 있음. 근데 이를 유도하는 것은 인수정리를 이용한거임. 여기서 각 인수를 곱한 이유는 (x-alpha)와 (x-1/alpha)가 서로 다른 식이란 숨은 전제가 있는거임. x-alpha=x-1/alpha라면 인수정리에 의해 유도할 수 있는 사실은 x-alpha(=x-1/alpha)를 인수로 갖는다는 사실 뿐임. f(1)=0이고 f(1)=0이니까 (x-1)(x-1)을 인수로 갖는다는 건 뭔가 이상하지 않음?
본래 미적분 이전의 고등학교 수학 문제는 으레 어느 함수든 간에 연속성을 가지니 이런 논리적 오류를 범하는 같음. 머릿속에서 무의식적으로 "문제의 사차방정식은 (x-alpha)(x-1/alpha)를 인수로 갖는다."라는 명제함수 p(alpha)에 대해 p(1)=limit (alpha > 1) p(alpha) 라고 생각하게 되는듯. 일단 결과적으로는 맞는 사실이니까 그게 인수정리에서 유도된거라는 오류를 자연스럽게 주입시킴.
아하 ㄳ
요약하면 설명이 잘못된 이유는 인수정리를 잘못 적용했다는 거임. 논리적으로 오류인데도 결과가 맞는 이유는 저것이 상반방정식이기 때문임. 보기 ㄴ.은 인수정리를 통해서 유도할 수가 없음. 고등학교 수준에서 중근의 판별 여부는 오직 인수분해, 판별식, 미분계수 뿐이란 걸 알아두셈.
210말 다시 읽어보니까 내가 얼마나 무식한지 알게되노
210 설명 이상한데? 네 개의 해를 1, p, q,r(복소수 포함) 이면 p,q,r이 모두 1이 아닌 경우는 없음. 단순히 f(1)=0이기 때문에 (x-1)을 인수로 갖는다<-- 여기서 끝낼 명제가 아님
결론만 보면 맞는데 증명할 수 없다는 얘기 아님? 당연히 틀리진 않았으니까 문제로 나왔겠지
f(x) = (x-1)g(x), g는 3차식. 인수분해하면 g(1)=0가 쉽게 나와서 증명 완료
3차식은 켤레복소수 2개 +실근 하나 또는 실근 3개 <-- 이렇게 분해되기 때문에 어느 경우에도 g는 x-1을 인수로 가짐
미안 내가 난독이네 답안 풀이가 틀렸구나
ㅇㅇ 인수분해로 x-1이 두번 곱해져있음을 보여야만 함
인수정리를 같은 수로 두번 적용한 꼴이고 이건 중근임을 보인게 아니지