하나면 더 여쭤볼게요..
이거 두개의 쿼션 링이 isomorphism이 아닌걸 보이는건데요.
일단 원래 푼 방법은 2가 하나에선 invertible인데 다른 쪽에서는 아니에요.
근데 이 방법 말고 특정한 map을 잡아서 보이는 방법도 가능할까 싶어서 저렇게 해봤는데 문제 없을까요?
그리고 제가 푼 것처럼 ax+b의 꼴로 둬도 괜찮은 이유는 2X^2+7이 irreducible이라서가 맞을까요? ( reducible이 아래에 있는 경우는 다루지 않는거 맞죠?? )
이거 두개의 쿼션 링이 isomorphism이 아닌걸 보이는건데요.
일단 원래 푼 방법은 2가 하나에선 invertible인데 다른 쪽에서는 아니에요.
근데 이 방법 말고 특정한 map을 잡아서 보이는 방법도 가능할까 싶어서 저렇게 해봤는데 문제 없을까요?
그리고 제가 푼 것처럼 ax+b의 꼴로 둬도 괜찮은 이유는 2X^2+7이 irreducible이라서가 맞을까요? ( reducible이 아래에 있는 경우는 다루지 않는거 맞죠?? )
\phi(x)=ax^2+bx+c+(2x^2+7)로 둬야하는거 아님? monic polynomial로 짜른 ring이거나 field 위의 polynomial이면 일차식으로 둬도 되겠지만 아니면 저렇게 해줘야되는거 아닌가
아 생각해보니 더 복잡했네요. 어려운 대수..
윗댓 지적에 부연설명하면 x^2이 Z[x]/(2x^2+7)에서 ax+b꼴로 안죽어서 phi(x)의 x^2항이 0인지 1인지 명시해줘야됨
So로 시작하는 수식에서 2번째줄에서 3번째중 넘어갈때 b^2 빠뜨렸다
다시 생각해보니까 phi(x)가 Z[x]/(2x^2+7)에서 ax^2+bx+c꼴이라는 보장도 없네. sum an x^n꼴로 나타내야됨. 이때 phi(x^2+7)의 leading coefficient가 1이 나와서 zero가 될수 없다는 결론이 나옴
Sum an x^n이라는건 결과식이 얼마나 고차로 갈지 모르니까 일단 infinite sum으로 표기하고 계수는 미지수로 두고 해야한다는거죠?? 저렇게 써두고 이게 맞나? 했는데 글 올려보기를 잘했네요 알려주신 내용들 감사해요
ㄴㄴ finite sum이지. phi(x)를 f(x) + (2x^2+7), f(x) in Z[x]로 둔다는 얘기임
Z[X]/(2X^2+7)의 일반항은 이차식+(2X^2+7)꼴도 아니고 아니고 일차식+(2X^2+7)꼴도 아님. 예를들어 X^3은 더이상 건드릴 방법이 없잖아. 이 문제를 저런 방식으로 풀고싶으면 Z[X]/(X^2+7)에서 Z[X]/(2X^2+7)으로의 맵이 아니라 Z[X]에서 Z[X]/(X^2+7)으로의 맵을 고려해야함. 그 맵은 X^2+7이 monic이라 네가 적은대로 상이 적힘.
더 정확히는 만약 f : Z[X]/(X^2+7) -> Z[X]/(2X^2+7)의 isomorphism이라면 g : Z[X] -> Z[X]/(X^2+7)라는 맵이랑 f를 합성하면 gf : Z[X] -> Z[X]/(X^2+7) -> Z[X]/(2X^2+7)인데 gf의 kernel이 (2X^2+7)이고 f가 isomorphism이니 g의 kernel이 (2X^2+7)이여야 함. 근데 g(x) = ax+b + (X^2+7)의 꼴이니 그런 a는 있을 수 없음.
그리고 (p(x))로 나눌때 p(x)가 irreducible 하지 않으면 Z[X]는 integral domain이 아닐 수 있음. R/I is an integral domain iff I is a prime ideal. 이거랑 또 R/I is a field iff I is maximal.
감사합니다. 혼자 하다가, 일단 2의 역원에 의해서 결과는 알고있다보니. 저렇게 풀어두고 이거 맞겠지 하고서 넘어가려 했는데 글 올려보기를 잘했네요.. 말씀해주신 합성 풀이가 이해는 되는데 처음에 떠올리기는 힘들었을 것 같아요.
gf의 kernel이 (2X^2+7) 라는 부분이 gf : Z[X] -> Z[X]/(2X^2+7)니까 직관적으로 당연한 결과인건가요? 그 나머지 뒤의 논리는 정확히 이해가 됐는데, 이 부분에서 좀 자명하게 생각되지 않아서요. 당연한 내용이라면 혼자 좀 더 고민해보겠습니다!
대체 이런풀이는 어떻게 떠올리는거지
오 쩐다