[대학교이상] 기본 군은 왜 배우나요?

[수학걸음마(221.166)]

기본 군(펀더멘탈 그룹)의 모티베이션이라고 할지..

intuitive 적으로 접근할 수 있는 방법이 있을까요?

저차원 다양체를 구분하는 데 유용한 도구라고 하는데 2차원 다양체는 기본 군 없이도 genus, orientability등으로 다 구분하고 분류할 수 있는데

3차원 다양체 때문에 기본군을 배우는 건가요? 아니면 2차원 다양체를 다른 관점으로 분류하려고 그런건가요?

[익명(141.223)]

그것이 topological invariant이기 때문에

[수학걸음마(221.166)]

기본 군 전에 배운 topological invariant 들로는 구분해낼 수 없는 것을 기본 군을 이용해서 구분할 수 있다는 거얌?

[익명(141.223)]

지금 당장 명확한 예시가 안 떠오르긴하는데, 기본 골자자체는 그런 목적으로 만든거라 보면 됨

[익명(141.223)]

그리고 기본군 자체는 그보다 더 좋은 걸 밝혀내는데도 쓸만해. 가령 (아주 좋은 경우에 대해서) 공간이 다른 공간에 감겨있는 경우를 파헤친다든지

[수학걸음마(221.166)]

아하! 고마워ㅎㅎ
그러면 혹시 아래 글에 나오는 내용이 Fundamental group에 대한 내용이야?
https://horizon.kias.re.kr/13664/

[익명(110.70)]

ㅇㅇ 맞음

[익명(110.70)]

큰 관련이 있음

[수학걸음마(221.166)]

그러면 아까 댓글로 설명해준 '(좋은 경우에 대해서) 공간이 다른 공간에 감겨있는 경우' 가 내가 링크한 글에서 나온 풀붙이는 이야기하고도 관련이 있는 거야?

[익명(141.223)]

그냥 저 만화 전체에서 설명하는 자체가 어떻게 감아서 새로운 공간을 만드냐에 대한 이야기임 ㅇㅇ

[수학걸음마(221.166)]

그렇군 그러면 감아서 새로운 공간을 만드는 것하고 fundamental group하고 관련이 있다는 거지?ㅎㅎ

[익명(141.223)]

yes

[수학걸음마(221.166)]

그래ㅠㅠ 고마워ㅠㅠ 단비같은 댓글이다ㅠㅠ 공부더 해보고 모르는 거 있으면 또 새글 파서 물어볼게ㅠㅠㅠ

[익명(present29)]

저 감는거 얘기가 covering space관련 내용인데 실제로 머수위상책 펴보면 기본군이랑 둘이서 야스하고있음

[익명(110.70)]

복소기하에서 제일 먼저 배우지 않아? poly disc 예시로 isomorphic 아닌거

[수학걸음마(221.166)]

복소기하는 공부 안해봐서..ㅠㅠ 나중에 기회가 되면 꼭 해볼게! 댓글 고마워

[TQFT(lemonkx)]

genus나 orientability의 현대적인 정의 자체가 homology를 써야해서 그런지 나는 정의는 fundamental group가 더 자연스러워 보이네 ㅋㅋ

[카카오(73.146)]

genus는 functor가 아니에요. genus를 정의하려면 호몰로지를 쓰거나 triangulation을 써야되는데 triangulation이 topological invariant인지 자명하지 않죠,