[대학교이상] 확대체에서 (F(a1))(a2)=(F(a2))(a1)이 같은이유가 뭘까요

[익명(rhdgurwnsc)]

예전에도 질문했었는데 잘이해를 못한거 같다

다시보니 또 모르겠다ㅋㅋㅋ

왤까?

가장작은 확대체하면 말이 되긴하는데

나는 좀더 식으로 보고싶은데..

내가 지금 하는 짓인데 특별히 잘못된게 없는거 같은데

끝에 저거 두개가 동일하다는걸 도저히 모르겠네

느낌상 같은 게 분명한데

어떻게 생각해

한번만 도와주십쇼 형님들

[ns(qwer2357)]

F(a) = (F와 a를 포함하는 제일 작은 체) 니까, ((F와 a1을 포함하는 제일 작은 체 )와 a2를 포함하는 가장 작은 체) = (F, a1, a2를 포함하는 제일 작은 체) 만 확인해주면 됨.

[익명(rhdgurwnsc)]

그게 너무 어려워요 (F(a2))(a1)이게 F(a2,a1)과 같다를 못하겠습니다

[익명(141.223)]

F(a2, a1)가 F(a2)(a1)보다 작은 건 정의상 자명하니 반대를 보이면 됨

[익명(rhdgurwnsc)]

지금 다시 보니까 한쪽은 자명하고 반대쪽도 그냥 통분하면 되니까 그냥 이렇게 당연하게 받아드리는 게 맞는건가요? 제가 독강으로 들어서 잘몰라서 그래요ㅎㅎ 오개념이 있어도 그게 틀린지른 못물어봐서.. 감사합니다

[익명(141.223)]

아녀 그냥 위에 ns님이 말씀해주신대로 하시는게 빠름ㅇㅅㅇ..

[익명(141.223)]

F(a)가 F 계수 a 변수 유리함수체가 된다는 거 보이는 것도 빡센 일 아닐까요?

[익명(rhdgurwnsc)]

ㅋㅋㅋㅋ모르겠어요 유리함수체 처음들어봐요 앞선 단계가 있는건가 심각하네 진짜

[익명(141.223)]

일단 식으로 보려는 생각을 버라세요

[익명(rhdgurwnsc)]

어떻게 생각해야 할까요? 윗분말도 하려고 하는데 또 같은 생각하고 있는거같은데 이거 증명 볼 수 없는 건가요

[익명(2.121)]

E가 F의 확대체이고 a_1, a_2가 E의 원소일때, F(a_1,a_2)는 a_1와 a_2를 포함하고 F를 부분체로 포함하는 E의 부분체임. 임의의 체들의 교집합 또한 field이기 때문에, 결국 F(a_1,a_2)는 a_1,a_2와 F를 포함하는 임의의 체 K⊆E들의 교집합으로 정의할수 있다. 먼저 (F(a_1))(a_2) 또한 이러한 K의 후보 중 하나이므로 F(a_1,a_2)⊆(F(a_1))(a_2)임을 얻는다.

[익명(2.121)]

이제 마찬가지로 (F(a_1))(a_2)의 정의를 생각하면, a_2와 F(a_1)을 포함하는 임의의 체 K'⊆E들의 교집합으로 둘 수 있데, 여기서 F(a_1,a_2)는 a_2와 F(a_1)을 포함하므로 K'의 후보 중 하나가 되므로 (F(a_1))(a_2)⊆F(a_1,a_2)를 얻는다. 따라서 F(a_1,a_2)=(F(a_1))(a_2). a_1와 a_2의 역할을 바꾸면 F(a_1,a_2)=(F(a_2))(a_1).

[익명(2.121)]

비슷하게 F(a)가 결국 f(a)/g(a)꼴 (g(a)는 0이 아닌) 들을 f,g in F[x]에 대해서 모아놓은 유리함수체라는걸 보인뒤 (이것도 마찬가지로 꽤 당연함), 본문에서 글쓴이가 시도했던 방식으로도 증명할수도 있음.

[익명(rhdgurwnsc)]

어제 생각하면서 제 나름대로 결론내봤는데 이거 보니까 또 다르네요 자세히 대답해주셔서 감사합니다. 댓글 보면서 더 많이 생각해볼께요