[일반] 점과곡선사이의거리 최솟값 질문

[익명(110.70)]

[a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능한 함수 f(x)에

대하여

y=f(x) 위에 있지않은 한 정점 (p,q)와

y=f(x) 위의 동점 (t,f(t)) 사이의 거리의 최솟값은 항상 존재하는가? 존재한다면, 최소가되게하는 실수 t의 값에 대하여

(p,q)와 (t,f(t))를 이은 직선의 기울기와

f'(t)는 서로 수직관계인가?

증명이가능한지 궁금해요

- dc official App

[익명(182.227)]

(1) 가능하고, 굳이 미분 가능 안해도 존재함 (2) t가 a 또는 b면 우짬?

[익명(118.235)]

수직관계임을 그럼어떻게 표현해줘야할까 기울기안쓰고 - dc App

[익명(182.227)]

애초에 수직이 아닌걸. [a,b]=[0,1]에서 f(x)=x의 그래프가 (p,q)=(1,2)와 최소거리에 있는 점은 t=1일때인데 수직이 아님. 니가 말한 기울기 문제 생긴다는건 t=p일때겠지

[익명(118.235)]

뭐야 그러네?반례가잇었농 .. - dc App

[익명(118.235)]

그러면 실수전체에서 미분가능하면, 반례가안생길까? - dc App

[익명(182.227)]

저 아래 통피게이 따라하셈

[익명(110.70)]

그래프가 compact set in R^2이기 때문에 최단거리 존재하고 그 최단거리가 되는 점이 그래프 (x,f(x)) 위에 있음

[익명(110.70)]

아니면 그냥 거리식을 적어보면 연속함수라서 걍 되네

[익명(110.70)]

(x-p)^2 + (f(x)-q)^2 이걸 미분하면 기울기 관계식 나오지