V와 W가 유한차원 내적공간이고 T : V→W와 U : W→V가 TUT=T, UTU=U이고 UT와 TU가 모두 자기수반연산자이도록 하는 선형변환이라 하자. U=T†임을 증명하시오. (dagger notation은 pseudoinverse)
이거 증명을 보는데..
거의 끝까지 이해했는데
we already have R(U-T†)⊂R(T*)=N(T)
여기서 R(T*)=N(T)^⟂ 아님?
Theorem 6.24는 T가 정사영 iff T=T^2=T*
그리고 we may pick x 부분에서
U(x)가 R(U)-R(T*)의 원소더라도
UT(U(x))의 값이 0이 아닐 수 있지 않나?
만약에 R^2을 예로 들어서
R(U)가 y=2x 위의 점들, R(T*)가 x축
UT가 R(T*), 즉 x축으로의 정사영이라 하면
R(U)-R(T*)는 y=2x 위의 점들 중 원점 제외한 거니까
x축으로 정사영시켜도 0 아닐 수 있지 않나
지난번도 그렇고 pseudoinverse 정의를 어떻게 배웠음? 저 4가지 조건 만족하는거를 pseudoinverse라고 불러주는건데. 처음 질문에 답하면 N(T)^perp가 맞고, R(U-T^dagger) subset N(T)^perp라서 R(U-T^dagger) cap N(T)가 0이 나옴.
교재에서는 T : V→W에 대해서 N(T)^perp로의 restriction을 잡아서 얘를 L : N(T)^perp → R(T)로 잡아서 y∈R(T)이면 L^(-1)(y), y∈R(T)^perp이면 0을 함숫값으로 갖는 놈을 pseudoinverse로 배움. 아마 저 문제는 이 정의랑 저 4가지 조건이랑 동치임을 보이라는 거겠지