선분을 무한히 자르면 길이가 0이 되잖아
근데 저 무한이라는것을 좀 나누어서
선분을 자연수농도로 자른다
선분을 실수농도로 자른다
라고 할때도 각각 다르게 표현 가능한가?
아니면 그냥 위에 적힌 문장 `선분을 자연수농도로 자른다 ,선분을 실수농도로 자른다` 가 말이 안되는 문장인가?
[일반] 선분을 무한히 자를때
ㅁㄴㅇㄹ(221.166)
2021-01-26 17:26
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선분을 무한히 자르면 왜 길이가 0이 됨
0이 안되게 자르면 되는데
논리없이 직관만 가지고 대충대충 사고하려니 답이 안나오지
자세히좀 설명해주세요
자른다는게 뭘 하겠다는거임? - dc App
자른다는게 주어진 선분을 여러개의 서로소이고 연결된 부분집합들로 분할한다는거면 당연히 실수이하 카디널을 갖도록 분할할 수 있지. 점 하나하나로 자르거나 칸토어집합의 원소마다 자르거나 할수도 있고, 끝점사이의 거리를 1이라고 했을 때 1/n 마다 자를수도 있고 - dc App
닫힌 구간을 각각의 부분집합이 0보다 큰 길이를 갖도록 자른다면 가산개로 나눌순 있겠지만 비가산개로는 못나눌 것 같음 - dc App
가산개로 나눌수 있으면 가산개로 나눈 각각의 길이는 얼마입니까?
급수가 1로 수렴하는 임의의 양수열과 같은 길이를 가질 수 있음 - dc App
선분 길이가 1이라고 했을 때. - dc App
0은 아니란 소리인가요?????
주어를 좀 똑디 말해야 답해주지.. 뭐가 0이라는소리야 - dc App
아 미안 그니깐 길이가 1인 선분을 가산개로 등분했을때 각각의 길이가 0은 아니란 소리야??
예를들어서 닫힌구간 [0,1] 을 가산개로 분할한다고 치고, 1/2^n 인 지점(1/2, 1/4, 1/8, ...) 을 각각 잘라낸다고 치면 자연수 개수만큼 잘랐으니까 가산개로 잘라낸거고, 각각의 선분의 길이는 1/2, 1/4, 1/8... 이니까 모든 부분집합의 길이가 0보다 크지. - dc App
반대로 길이가 0인걸 가산개 모아서 0보다 큰 길이를 못 만들어내니까 가산개로 잘랐으면 무조건 0보다 큰 길이가 있어야지 - dc App
오 맞아 내가 궁금했던 의문사항이야 근데 (1/2)^n인데 n을 무한으로 보내면 0이잖아 그면 길이도 0 아냐??????
나는 1인길이를 같이 n등분했을때, 각각의 길이는 1/n인데 n을 무한으로 보내면 0 이 된다. 그래서 길이도 0 이다 이렇게 생각했는데 <- 아무리 생각해도 틀린거 ㅅ같아서
1/2^n 의 위치를 다 자르면 그렇게 생긴 구간의 길이는 1/2^n-1/2^(n+1)=1/2^(n+1) 이지. 다시말해 1/2, 1/4, 1/8, ... 1/2^n ... 의 길이를 가진 구간들이 생길거아냐. 그거 다 더하면 1이지 - dc App
그렇게 자르는건 알겠어 균등하게 자를때는 2등분하면 1/2에서 자르는거고 3등분하면 1/3,2/3 지점에서 자르는거고 4등분하면 1/4, 2/4, 3/4 지점에서 자르는거고 계속해서 자르는거
수학적으로 1=1/2+1/2=1/3+1/3+1/3=... 이 관계를 계속 써내려간다고 했을 때, 임의의 유한한 자연수 n에 대해서는 의미가 있겠지. 근데 그걸 극한보낸다고 0이 되는건 아니야. n*(1/n) 을 극한보냈는데 왜 0이 나오겠어. 1이 나와야지. 물론 (1/n) 하나하나는 0이 되겠지만, 무한히 덧셈되어있는걸 무시하면 안돼 - dc App
네가 말한식으로 잘라본다면 똑같은 길이로 n등분 했을 때 잘라야하는 지점은 k/n, k=0,1,2,...,n 이 될거야. n이 아주 커진다면(무한이라면) 넌 어디서부터 자를래? 여기서 문제가 생기는거지. - dc App
다시말해 1/n으로 등분하는건 식으로는 의미가 있는데, 그 결과를 직선에 그대로 옮기는데는 문제가 생기는거임. 가령 [0,1] 의 모든 유리수지점을 자른다면 어떻게될까? 그렇게 자른 부분들을 길이를 가진 '구간'이라고 할 수 있을까? - dc App
ㅇㅋㅇㅋ 방금 답변까지 이해했엉. 그렇다면 길이가 1인 선분을 균등(각각의 길이가 같게)하게 셀수 있는 무한으로는 못잘라??
ㅇㅇ 그 각각의 구간이 0보다 큰, 동일한 길이를 가져야한다면 못자름. 무한수열 an=c>0 의 급수가 발산하니까. 무한한 길이를 가지고 있는 집합은 동일한 길이로 분할할 수 있겠지 - dc App
근데 길이가 1인 선분을 균등하게 두개로 나누고 한개는 버리고, 남는 선분을 두개로 나누고 한개로 버리는 작업을 계속할땐 결국 길이는 0이잖아? 그러면 자연수개수(셀수있는무한)으로 자르면 0되는거 아냐??
0이 왜됨;; 이해했다고 해놓고 하나도 이해 못했네
ㅎ헿ㅎㅎㅎ 질문 다시 정리해서 올려봤어 한번 봐줘
https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=math&no=25021&page=1
[0,1]의 부분집합을 생각하고 그 부분집합의 원소 x의 바로 다음 원소 x' 을 찾을 수 있으면 될 듯 근데 유리수 부분집합만 봐도 그게 안되니까 어렵지 않을까?
이런거 보면 좀 안타깝다 - dc App