[일반] 균등수렴 질문

[익명(223.62)]

Pma 뒤쪽 파트를 함수열 부분만 안보고 미뤄두다가 공부중인데. 언제인가 뽑아둔 설대 기출문제중에 함수열쪽 내용이 있어서 풀어보는데. 아직 함수열 초보라 쉬운거 같은데도 잘 모르겠네요..

그냥 f_n이 f로 수렴하냐 이런게 이니라 급수로 나오니까 1차로 당황하고..

Pma에 함수열 미분가능과 관련된 7.17 theorem은 sigma로 무한합도 아니고 구간도 closed bounded interval이라 약간 달라보이는데 저 문제의 경우에 (0,infty)라서 달라지는 부분이 있나요..

그리고 급수가 수렴하면 fn이 충분히 칸 경우 0일테니 맨 아래쪽에 sup가 0으로 간다고 했는데 위에는 x고 아래는 n이라 어떻게 서술하면 좋을까요? 지수 차이땨문에 0 될거같기는한데..

아직 이쪽파트 초보라 그냥 나중에 풀어볼까 하다가 일단 건드려보고 속시원하 안풀리니 너무 찝찝해서 도움 요청드려봅니다..댓글 확인은 혹시나 좀 늦을수도 있는데 방향성만 도움주시고 closed bounded가 아닌게 좀 거슬려서 그 부분에 대한 설명만 들어도 좋을 것 같아요.. 급수로만 바꿔도 괜히 헷갈리는 ㅠㅜㅜㅜ

[익명(110.70)]

a번은 임의의 점에 대해 적당한 closed interval 항상 잡아준 다음 니가 말한 정의 쓰면 되고 b번은 x가 unbounded라 sup가 inf가 돼서 converges uniformly 아님

[익명(110.70)]

*니가 말한 정리

[익명(110.70)]

*항상 잡아줄 수 있으니

[익명(59.5)]

답변 감사합니다.. [ a,b ].에서 미분가능하면 (0, inf) 에서도 미분가능하다고 할 수 있을까요? 이런 극한 취하고 unbounded로 가는 부분이 헷갈리네요..

[익명(110.12)]

(a) f_n이 C1[a,b]이고 sum f_n'이 uniformly converge하고 a<=x_0<=b가 있어서 sum f_n(x_0)이 converge면 sum f_n'은 differentiable한 f로 uniformly converge함(증명은 미적분학의 기본정리). (0, inf)인거는 각 점을 포함하는 closed bounded interval 잡으면 되겠지

[익명(59.5)]

답변 감사합니다.. 헷갈리는 부분 정리해서 글 하나 더 써볼게요 ㅜㅜㅜ 도움 정말 감사해요!