Thm 1.9의 적용에 대해 질문드립니다. 즉, span(b)가 부분공간인지에 대해 질문드리려고 합니다.
제가 이해한 정리 1.5는
"벡터 공간 V에서, 부분집합 S를 잡자. S의 생성 span(S)는 S를 포함하는 V의 부분공간들의 교집합이다.(즉, S를 포함하는 V의 임의의 부분공간은 항상 span(S)보다 크다.)입니다
여기서 중요한게 "부분집합 S"인데
그런데, Thm 1.9를 증명할 때
b가 V를 생성함을 보이기 위해 정리1.5를 사용하는데, 이것이 왜 S<span(b)를 보이면 충분하다는 것으로 되는지 잘 모르겠습니다.
span(b)=V를 보이기 위해, span(b)>S를 보이는 것이, 이해가 안됩니다.
span(b)>S -> span(b)는 S를 포함한다 -> span(b)는 항상 span(s)=V보다 크다 인가요?
span(b)가 부분공간이라는 근거가 없는데 Thm1.5를 써도 되는지 모르겠습니다.
부분공간은 Vector Space여야 하는데, 부분집합의 생성을 통해 만든 것이 벡터 공간이라고 확정할 수 있나요?
1.5의 앞부분이 "span of any subset S is a subspace"라고 나와있죠. 이 에 beta를 넣어보면 span(beta)가 subspace가 됨을 알 수 있어요.
beta의 원소들은 애초에 S에서 가져왔으니 span(beta)가 span(S)의 부분집합이 됨을 알 수 있고, 반대방향 포함관계를 보이기 위해서 S가 span(beta)에 들어감을 보이는거에요.
아... 감사합니다 하는일 모두 잘되실거에요