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위 글에 질문 올렸는데요. 댓글 보고 다시 대충 해봤는데 여전히 헷갈리는 부분 있어서 정리해볼게요.
문제 사진하고 문제 푸는중에 사용한 rudin theorem 7.17하고 제가 끄적인 내용 사진으로 올릴게요.
일단 0< a < b < inf 인 closed interval [a,b]에서는 f가 differentiable인게 theorem에 의해서 보여지는데.
그렇다면 임의의 closed interval에 대해서 가능하고 a 를 충분히 작은 임의의 엡실론처럼 잡고, 1/엡실론 보다 큰 N보다 더 크게 b를 잡으면 이러한 미분 가능성이 (0,inf)로 확장되는건가요?
Closed interval에서 미분가능 —> (0.inf)에서 가능이라는게 뭐라 해야할지 모르겠어요.. 댓글에 그렇게 말해주셔서 방향은 잡았습니다.
그리고 [a,b]에서는 f_n이 균등수렴인데. (0.inf) 에서는 lim(sup f_n(x) ) =/ 0 이라서 f_n의 균등수렴에서는 closed interval에서의 성질이 유지되지 않는데요.
미분가능성은 closed interval 에서의 성질을 (0.inf)로 확장할 수 있지만
Uniformly convergence가 된다는 성질은 확장이 안된다고 이해하면 되나요?
Closed에서 (0.inf)로 확장하는 부분이 잘 이해가 되지 않아서 도움 주시면 정말 감사할 것 같습니다..
문제 하나 풀면서도 해석 공부가 많이 모자르구나 느낍니다..
closed에서 미분가능하니까 (0,inf)에서 미분가능으로 확장했다기보다는 (0,inf) 위의 임의의 점 x_0을 fix할 때 충분히 작은 closed interval을 항상 잡을 수 있고 그때 정리에 의해 f는 x_0에서 미분가능, 따라서 (0,inf)의 임의의 점에서 미분가능 하므로 f는 (0,inf)에서 미분가능 이렇게 생각해보셈
감사합니다. 임의의 점 x_0에 대해서 어떤 숫자를 잡든 제가 위에서 pie로 잡은 것 처럼 급수는 결국 수렴하니까 주어진 theorem을 만족하게 되는 것 맞나요? 확장이 아니라 임의의 점을 포함하는 interval이라 하니까 이 부분은 이해가 되네요 정말 감사해요 ㅠㅠ 쉬운것 같은데도 이해가 안되니까 혼자 스트레스만 잔뜩 받았는데..감사합니다