[대학교이상] 선대 질문

[익명(59.23)]

R^5의 3-dimensional subspace V, W가 있음

이 때, V와 W가 nonzero인 공통원소를 가짐을 보이라는데 어떻게 해야할 지 잘 모르겠어서 혹시 도와주실 수 있나요?

시도) V=span(v1,v2,v3), W=span(w1,w2,w3)

v1,v2,v3,w1,w2,w3 6개는 linearly dependent

-> 6개중 하나는 나머지 5개로 표현됨...

[익명(220.121)]

dim(V+W)=dim(V)+dim(W)-dim(V intersection W) 쓰셈. 처음보는 등식이면 증명해보고.

[Rafle(probaroque)]

6개중 하나는 5개로 표현됨을 식으로 쓰고 좌변에 v1,v2,v3 우변에 w1,w2,w3 모아봐. 그다음에 양변이 0이 아님을 보이기 위해수 걔네들끼리도 선형독립이라는거 쓰면 된다

[익명(59.23)]

아 낫 놓고 ㄱ도 몰랐네 ㄹㅇ... 알려주셔서 감사합니다. 윗분이 알려준 거 증명하려는데 같은 논리가 필요해서 막혔었는데 이제 되네요

[익명(222.107)]

w1=a1w2+a2w2+b1v1+b2v2+b3v3라 했을 때, w1,w2,w3끼리는 linearly independent해야 하므로 b1v1+b2v2+b3v3가 0이 될 수는 없음.(만약 0이라면 w1이 w2와 w3에 의해 표현되므로) 그 다음 w들은 좌변으로 보내면 w1-a1w2-a2w2=b1v1+b2v2+b3v3인데 좌변은 W의 원소고 우변은 V의 원

[익명(222.107)]

소임. 우변이 0이 아니므로 V와 W가 공통인 nonzero element를 가짐