위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.

  • 위너 공간은 그 측도의 푸리에 변환이 가우스 함수를 이룬다는 조건으로 추상적으로 정의할 수 있다.
  • 위너 공간은 힐베르트 공간으로부터 구체적으로 정의할 수 있다.

이 두 정의는 서로 동치이다.

푸리에 변환을 통한 정의[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, {\displaystyle H\subseteq E}{\displaystyle H\subseteq E}이므로

{\displaystyle E^{*}\subseteq H^{*}=H}{\displaystyle E^{*}\subseteq H^{*}=H}

이며, {\displaystyle E^{*}}E^{*}는 {\displaystyle H}H의 조밀 집합을 이룬다. (여기서 {\displaystyle (-)^{*}}{\displaystyle (-)^{*}}는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)

만약

{\displaystyle \int _{E}\exp(\mathrm {i} \langle \lambda |x\rangle )\,\mathrm {d} \mu (x)=\exp \left(-{\frac {\langle \lambda |\lambda \rangle _{H}}{2}}\right)\qquad \forall \lambda \in E^{*}\subseteq H}{\displaystyle \int _{E}\exp(\mathrm {i} \langle \lambda |x\rangle )\,\mathrm {d} \mu (x)=\exp \left(-{\frac {\langle \lambda |\lambda \rangle _{H}}{2}}\right)\qquad \forall \lambda \in E^{*}\subseteq H}

라면, {\displaystyle (E,\mu ,H)}{\displaystyle (E,\mu ,H)}가 위너 공간이라고 한다.

구체적 정의[편집]

위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다.

분해 가능 실수 힐베르트 공간 {\displaystyle H}H 위의 기둥 집합의 족 {\displaystyle \operatorname {Cyl} (H)}{\displaystyle \operatorname {Cyl} (H)} 위에, 다음과 같은 유한 가법 측도를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (H)\to [0,1]}{\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (H)\to [0,1]}{\displaystyle \nu \colon P^{-1}(S)\mapsto (2\pi )^{n/2}\int _{S}\exp(-x^{2}/2)\,\mathrm {d} ^{n}x\qquad (P\colon H\to \mathbb {R} ^{n},\;S\in \operatorname {Borel} (\mathbb {R} ^{n}))}{\displaystyle \nu \colon P^{-1}(S)\mapsto (2\pi )^{n/2}\int _{S}\exp(-x^{2}/2)\,\mathrm {d} ^{n}x\qquad (P\colon H\to \mathbb {R} ^{n},\;S\in \operatorname {Borel} (\mathbb {R} ^{n}))}

특히,

{\displaystyle \nu (H)=1}{\displaystyle \nu (H)=1}{\displaystyle \nu (\varnothing )=0}{\displaystyle \nu (\varnothing )=0}

이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, 측도를 이루지 못한다. 즉, 이는 {\displaystyle \sigma (\operatorname {Cyl} (H))=\operatorname {Borel} (H)}{\displaystyle \sigma (\operatorname {Cyl} (H))=\operatorname {Borel} (H)} 위의 (가산 가법) 측도의 제한이 아니다. 이를 {\displaystyle H}H 위의 기둥 집합 측도(영어: cylinder-set measure)라고 한다.

{\displaystyle H}H 위의 (내적 노름과 다를 수 있는) 노름 {\displaystyle \|-\|}{\displaystyle \|-\|}이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 유한 차원 부분 공간들의 열

{\displaystyle V_{1}\leq V_{2}\leq \dotsb \leq H}{\displaystyle V_{1}\leq V_{2}\leq \dotsb \leq H}

이 존재한다면, 이를 가측 노름(영어: measurable norm)이라고 한다.

임의의 유한 차원 부분 공간 {\displaystyle W\subseteq H}{\displaystyle W\subseteq H}에 대하여, 만약 {\displaystyle W\perp V_{n}}{\displaystyle W\perp V_{n}}이라면, {\displaystyle \nu (\{x\in H\colon \|\operatorname {proj} _{W}x\|>2^{-n}\})<2^{-n}}{\displaystyle \nu (\{x\in H\colon \|\operatorname {proj} _{W}x\|>2^{-n}\})<2^{-n}}이다.

{\displaystyle H}H의, 어떤 가측 노름 {\displaystyle \|-\|}{\displaystyle \|-\|}에 대한 완비화인 바나흐 공간

{\displaystyle H\subseteq E}{\displaystyle H\subseteq E}

가 주어졌다고 하자. {\displaystyle B^{*}\subseteq H^{*}\cong H}{\displaystyle B^{*}\subseteq H^{*}\cong H}이므로,

{\displaystyle \{H\cap C\colon C\in \operatorname {Cyl} (E)\}\subseteq \operatorname {Cyl} (H)}{\displaystyle \{H\cap C\colon C\in \operatorname {Cyl} (E)\}\subseteq \operatorname {Cyl} (H)}

이다.

그렇다면, {\displaystyle E}E의 기둥 집합의 족 {\displaystyle \operatorname {Cyl} (E)}{\displaystyle \operatorname {Cyl} (E)} 위에 다음과 같은 측도를 정의할 수 있다.

{\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (E)\to [0,1]}{\displaystyle \nu \colon \operatorname {Cyl} (E)\to [0,1]}{\displaystyle \nu \colon \phi ^{-1}(S)\mapsto \nu (H\cap \phi ^{-1}(S))\qquad \forall \phi \colon B\to \mathbb {R} ^{n}}{\displaystyle \nu \colon \phi ^{-1}(S)\mapsto \nu (H\cap \phi ^{-1}(S))\qquad \forall \phi \colon B\to \mathbb {R} ^{n}}

이는 {\displaystyle \operatorname {Cyl} (E)}{\displaystyle \operatorname {Cyl} (E)}로 생성되는 시그마 대수

{\displaystyle \sigma (\operatorname {Cyl} (E))=\operatorname {Borel} (E)}{\displaystyle \sigma (\operatorname {Cyl} (E))=\operatorname {Borel} (E)}

위에 가산 가법으로 유일하게 확장될 수 있다. 즉, 이는 가측 공간 {\displaystyle (E,\operatorname {Borel} (E))}{\displaystyle (E,\operatorname {Borel} (E))} 위의 확률 측도를 이룬다. 그렇다면, {\displaystyle (E,H,\mu )}{\displaystyle (E,H,\mu )}를 위너 공간이라고 한다.