호 길이합은 계속 같으니까 pi로 구하긴 한데
본질적으로 다른이유가뭐에요?
형주가 잘못된 결론을 내리게된이유
= 무한히해도 선분에 가까워질뿐 완전히같진않아서
길이가 다르다? 이렇게내리기엔 제가 알고있는 극한의
정의랑 달라서 아닌거같은데...
제가알고있는 극한의정의에의하면
선분과 완전히 일치하는데 어떻게 길이가다른거죠?
교과서상으론 설명불가한가요? 그냥
동일한 선분이라도 길이가 다를수도잇다.
라생각하면되는건가요? 이정도역설의해결로?
- dc official App
n단계에서 총이동거리를 a_n이라하면 걔는 {a_n}=pi,pi,pi,pi,...인 상수수열아님?
그건 알죠.근데 그거로 끝이아니라..왜 다른지가 궁금해서요. 극한을 취하면 선분과 "완전히 같아진다"는 참인데, 그럼 동일선분이라도 이동거리가 달라질수있다는 역설인건가요? - dc App
동일 선분의 길이가 다를수잇다면 하나의 선분을 보고 이 길이가 그 길이가맞는지는 또어떻게아느냐 라는 문제에도봉착하네요.. - dc App
저번에도 비슷한내용의 글 올라왔는데 답변에 측도론 얘기 나오더라구요 저도 급식이라 자세히는모르는데,
반원의 지름을 x축이라 생각하고, 저 n번째개미의 이동경로를 함수 f_n(x)로 나타내면, lim n->무한대 f_n(x)=0이니까.. 완전히같은게맞는거같은데 - dc App
저희가 배우는 범위안에는 경로? 자취?의 극한의 정의같은건 에초에 없기도하고(논증을하려면 그 대상을 정의부터 해야하지않나싶음) 그런걸 정의했다해도 그걸 받아들였을때 자취의 길이의 수열의 극한이 과연 자취의 극한의 길이와 반드시 같을 이유가 있는지 그런것도 생각해봐야할것같음
주기함수로정의를주면 가능하지않나요 - dc App
호(들)의 "극한"을 정의한 적이 있었나요?
반원의 지름을 x축이라 생각하고,저 n번째개미의 이동경로를 함수 f_n(x)로 나타내면, lim n->무한대 f_n(x)=0이니까.. 완전히같지 않나요? - dc App
호(들)의 길이의 합의 극한은 고교과정의 수열의 극한이지만, 그렇다고 이것을 호(들)의 "극한"으로 착각하면 곤란하겠죠. 그래도 다음의 질문은 꽤 파고들 부분이 있는 질문입니다: 위와 같은 상황을 - 즉 호(들)과 선분의 관계 - 엄밀하게 정의하고, 이 경우 길이의 극한과 "극한과 유사하게 설명하고픈 무언가"의 길이가 같은가?
거기에 대해 수학자들이 열심히 생각하고 통찰하여 나온 것이 Hausdorff measure이고, 이 친구는 위와 같은 상황에서 불연속임이 알려져 있답니다. 애초에 길이를 구하는 대상도 다르고 방식도 다른데, 같아야 할 이유가 없었던 것이죠.
호(들)의 이동경로를 저상황에서 함수 f_n(x)로 나타낼수잇는데, 그러면 lim n->무한대 f_n(x)=0이 아닌것인가요? - dc App
친절한설명감사합니다
f_n(x)을 ,n단계 호(들)에서의 원점을 A라고 할 때, 가로축 좌표가 x인 곳에서의 세로축 좌표라고 두면 lim_n f_n(x)=0 for all 0<=x<=2 는 맞습니다. 그러나
"호(들)의 극한"을 (엄밀하게 정의하여) 인정한다고 해도, '[호(들)의 극한]의 길이'와 '[호(들)의 길이]의 극한'이 같아야 할 이유는 없습니다.
그렇다는건 이내용자체가 고교과정으로 "반례를통한증명"이되는거네요? 고교과정으로도 저 호의길이는 상수인데 극한함수의길이와다르니 반례존재 로요 직관적이진않지만 반례가명확히존재하면 받아들여지니까 - dc App
고교과정의내용으로도 그 길이를 정의함에있어 모순이 없으니깐요 - dc App
rough하게 보면 그렇긴 하지만, "길이"의 정의부터 시작해서 이 내용에 나온, 필요한 것들을 엄밀하게 정의한 다음에야 반례를 제시하여 명제가 거짓임을 증명하든 말든이 성립하는 것이니.. 고교과정에서는 이런 경우도 있으니 순서 바꾸는 일에 주의할 것을 캐치하는 정도면 되지 않나 싶습니다.
A에서 이동 경로에 그은 접선이 n이 어떤 값이든 AB와 수직이잖아
간단히 말해서 어떤 함수열 f_n가 함수 f로 수렴한다 해도 f_n이 나타내는 곡선의 길이로 구성된 수열 a_n의 극한이 원래 f의 길이와 같을 이유가 없어요
그 이유는 고교로 설명이불가능한거군요 - dc App
간단히말하면 극한을 취해놓고,f의길이를구하는레아니라 - dc App
극한을취하면서 길이도같이취해져서 달라질수있단거죠? 느낌적으로. 그래서 동일선분이지만 같지않다가되고. 길이를구하는순서에따라.. - - dc App
뭐...무슨말인지는 모르겠지만 엄밀한 설명은 고교범위를 벗어나는게 맞습니다. 순서의 중요성을 알려주려는 문제인거 같네요. 더 궁금하시면 수학과를 오시면 됩니다.
쉽게생각하면 서순의 차이지. (1) 각각의 n에 대해 fn(x) 의 그래프의 길이(수열)를 구한 다음에 이 수열의 극한을 구하느냐, (2) fn(x)의 극한함수 ( f(x)=0, x∈[0,2] )를 먼저 찾은 후 그 극한함수의 그래프의 길이를 구할 것이냐. 박스 안에있는 설명은 (1)을 의도한거고, 형주는 (2)처럼 순서를 다르게 생각한거고
그러면 설령 동일한 선분의상태일지라도 두 길이가 다를수있다는거군요. - dc App
왜 결론이 그렇게나오는거지...? (1)의 관점에서는 구하는 길이가 애초에 선분이 아님. 각 n에 대한 수열은 선분의 길이가 아니고 호의길이의 합을 말하는거고, 단순히 이 수열의 극한을 생각하자는게 (1)의 입장임. 여기서는 '선분'이라는 개념이 끼어들 틈이 없음. (2)는 함수열의 그래프를 나타냈을 때, 그 극한함수의 그래프는 선분이고 이 극한함수의 그래프의 그 길이를 생각하자는거임. 여기서는 그래프를 먼저 생각하고, 그 길이를 생각하는거지. [길이->극한]을 생각할거냐, [극한->길이]를 생각할거냐의 차이임. 연산의 순서가 달라도 (운이 좋으면, 혹은 어쩌다 보니) 결과가 같을수도 있지만 다르다고 보는게 사실 더 일반적인거고, 순서가 달라도 같으면 그게 특별한거야
기본적으로 같을 이유가 없는건 같다고 하면 안됨 그 극한의 길이와 길이의 극한이 같다고 하는건 그게 달라야할 이유를 모른다고 괜찮은게 아니라 같을 이유를 모르니 안 괜찮은거지
잘 생각해보면 극한이 저 선분으로 가더라도 길이가 1 이상의 양수로 수렴하거나, 무한대로 발산하거나, 둘다 아닌 경우도 있다는걸 깨달을거임
하우스도프 메트릭에 대해 연속함수가 아니기 때문
댓글을 보니 계속 "동일한 선분의 길이가 다를 수 있다"고 생각하시는 것 같은데, 그것은 오해입니다. 그림의 상황에서 한쪽은 (무언가의) 극한의 [길이]이지만, 나머지 한쪽은 (무언가의) 길이의 [극한]이지, 무언가의 [길이]가 아니기 때문입니다. +) 개미는 각 단계에서 π만큼 이동하는데, 그건 각 단계에서 개미는 그저 호(들)를 따라 이동하기 때문입니다
극한 개념은 고교 과정 중 오개념이 발생하기 쉬운 개념이니, 그럴 것 같은 것이라는 피상적, 개연적 이해를 의식적으로 지양하는 편이 좋을 것 같습니다.
극한의 길이랑 길이의 극한이 다를 수 있어서