만약 M 이 n dimensional compact smooth manifold 일때,
1) Show there is no smooth immersion f : M -> R^n
2) Given an example or show there is no smooth immersion f : R^n -> M.
1)
아무 smooth map f는 continious하기 때문에 f(M)은 compact하고, 그러므로 closed, bounded함. 반면, dimension이 같아서 f가 smooth immersion이면 f는 local diffeomorphism, 그래서 open map 임. 그래서 f(M)은 open함. 그런데 R^n 에서 clopen한건 R^n 밖에 없음. 근데 bounded하지 않으니까 모순. 내가 말한거 다 맞음?
2) 는 문제나온거 보면 무조건 example이 있을거 같은데 모르겠음
1) Show there is no smooth immersion f : M -> R^n
2) Given an example or show there is no smooth immersion f : R^n -> M.
1)
아무 smooth map f는 continious하기 때문에 f(M)은 compact하고, 그러므로 closed, bounded함. 반면, dimension이 같아서 f가 smooth immersion이면 f는 local diffeomorphism, 그래서 open map 임. 그래서 f(M)은 open함. 그런데 R^n 에서 clopen한건 R^n 밖에 없음. 근데 bounded하지 않으니까 모순. 내가 말한거 다 맞음?
2) 는 문제나온거 보면 무조건 example이 있을거 같은데 모르겠음
2번은 그냥 M의 임의의 점 잡고 그 점 주변에서의 local patch 생각하면 안 되나? 구체적으로는 S^n으로 stereographic inclusion을 잡던가.
ㅈ밥이라 local patch가 뭔지 모르겠다... stereographic inclusion도... stereographic projection (S^n minus N, S^n minus S가지고 하는거)는 배웠는데
그러니까 stereographic projection의 inverse를 생각하는거지. S^n-{N}에서 R^n으로 가는 stereographic projection의 inverse는 R^n에서 S^n-{N}으로 가는 diffeomorphism일거고, 이것을 S^n-{N}에서 S^n으로 가는 inclusion과 합성.
그 맵들이 다 immersion이고 그러면 R^n -> S^n 으로가는 이머젼을 찾게된거임?
embedding이면 immersion이지?
immersion이면 local diffeo onto its image에요. Mfd가 without boundary라는 말이 추가로 필요해요