멍커스 30단원 연습문제 1.( b )인데요.
문제에서 요구하는건. One - point set can be expressed as countable intersection of open set. 인 것들중에서
First - countable을 만족하지 않는 것을 찾으라고 하는데요.
좀 찾아보니 예시로 R^W ( 실수선 countable 모아둔거 ) 에서 box topology를 주는 경우를 찾았는데요. 조금 이해가 안되는 부분들이 있어서요.
1. Thm중에. (. First countable ) — >. ( cl(A)의 원소 x로 수렴하는 A의 원소들의 수열이 존재한다. )
이거를 대우 취해서 하려했는데 생각이 잘 전개가 안되고.
2. 어떤 점. X = ( x_1, x_2 ..... ) 라고 할 때. 이 점에 대해서 U_n = 각x_i 에 대해서 radius 1/n을 가지는 open set이라하면. U_n이 countable basis가 되는 것 같은데.
어디서 오류가 있는건지 그리고 어떻게 풀 지 했갈리네요..
R/Z 를 예시로 둔 풀이로 봤는데. 일단 이건 뒤로 제쳐두고 위에 내용들로 어떻게 해보고싶어서요..
문제에서 요구하는건. One - point set can be expressed as countable intersection of open set. 인 것들중에서
First - countable을 만족하지 않는 것을 찾으라고 하는데요.
좀 찾아보니 예시로 R^W ( 실수선 countable 모아둔거 ) 에서 box topology를 주는 경우를 찾았는데요. 조금 이해가 안되는 부분들이 있어서요.
1. Thm중에. (. First countable ) — >. ( cl(A)의 원소 x로 수렴하는 A의 원소들의 수열이 존재한다. )
이거를 대우 취해서 하려했는데 생각이 잘 전개가 안되고.
2. 어떤 점. X = ( x_1, x_2 ..... ) 라고 할 때. 이 점에 대해서 U_n = 각x_i 에 대해서 radius 1/n을 가지는 open set이라하면. U_n이 countable basis가 되는 것 같은데.
어디서 오류가 있는건지 그리고 어떻게 풀 지 했갈리네요..
R/Z 를 예시로 둔 풀이로 봤는데. 일단 이건 뒤로 제쳐두고 위에 내용들로 어떻게 해보고싶어서요..
(1) 대우 취해보고나서 뭐가 잘 안되는가 말해보셈 (2) U_n이 basis가 안됨. box topology니까 편하게 open set U을 (x1-1, x1+1) * (x2-1/2, x2+1/2)* ... *(xn-1/n, xn+1/n)*...로 잡아주면 Un subset U인 n이 존재하지 않아서 basis가 아님
(1)에 대우 취한 제 생각을 정리해보면. Subset A = ( x_i > 0 ) 인 집합이라고 하면 zero set = ( 0 , 0 , .... ) is in cl(A). 그리고 어떻게 수열을 잡아도 저기로 수렴하지 않는다면 not first countable이다 이런식으로 하려 했는데 그런 수열을 어떻게 잡을까요.. 댓글 정말 감사합니다. ㅜㅜ
이것도 뭔가 이상한 것 같지만 일단 모순이 생겨야 되는데. X_n = ( 1/n , 1/n .... ) sequence of the elements are 1/n 로 잡으면 이런 수열은 zero set을 limit point 로 가지는 것 같아서 또 이상하네요.
대우명제를 헷갈려하시는거 같은데 X가 1st countable →[임의의 A에 대해 cl(A)의 원소 x로 수렴하는 A에서의 수열이 존재한다]의 대우는, [어떤 A에 대해 cl(A)의 어떤 원소 x가 존재해서 임의의 A에서의 수열이 x로 수렴하지 않으면] → not 1st countable입니다
님이 쓴거처럼 저 A와 x=zero set은 xn의 limit point니까 그냥 님이 A랑 x를 잘못 찍은겁니다. 다른 A랑 x 알아보든가, 다른 방법으로 1st countable이 될수 없다고 보이든가 해야죠
와.. 기초적인 집합론 내용인데 그냥 헷갈리고 어떻게 하려다보니 실수 했네요. 자세히 답변해주시고 교정까지 다 해주셔서 정말 뭐라고 감사를 드려야할지... 일단 알려주신 내용들 아래 답글 포함해서 이해는 다 했습니다. 지금 종이에 한 번 적으면서 생각 정리해볼게요.
검색도 해보고 괜히 혼자 생각도 해봤는데. 잘 안되다가 설명 조금 들으니까 다 이해됐네요. 설명을 진짜로 잘하십니다.. 저도 언제쯤 수학 내공이 쌓일지는 모르겠지만 정말 다시 한 번 감사드리고 열심히 수학공부 하겠습니다 감사해요
대우 취한거 보니까 저런 집합과 수열 찾는건 정말 힘들겠네요.. 그냥 아래 말씀해주신 방법이 현실적이고 저걸로 잘 정리해두겠습니다!
그리고 굳이 1번 써야하나? 니가 잡은 Un intersection 시키면 X 나와서 point set can be expressed as countable intersection of oen set 잘 되는데
그 보이려는게 countable intersection인거는 이미 했고. 문제가 되는건 first countable인지 보이는 거라서요.
일단 위에 말씀해주신 Un subset U 인 n이 존재하지 않아서 제가 말한게 basis가 되지 않는다는건 알았습니다! 근데 혹시 다른 countable basis가 존재할 수 있으니까 더 체크해봐야 할까요? 단순히 저게 basis가 아니라고 해서 countable basis가 없다. 로 결론짓기는 애매한 것 같기도 해서요.
네 그렇게 쓰면 잘못 푼거죠. 그냥 countable basis {Un}이 존재한다고 가정할 때 Un subset U가 안되는 U를 만들어주면 됩니다. 각 n에 대해 rn을 충분히 작게 만들어서 Un subset (xn-rn, xn+rn)이 안 되도록 만들어주고 U를 (xn-rn, xn+rn)의 곱으로 정의하면 Un subset U인 n이 존재하지 않습니다
저 rn은 Un의 n번째 성분의 radius의 절반으로 잡아주면 충분하고요