16번 (a)문제 풀이
간략하게 아이디어만 서술해주실수있나요
차원이 같다같다같다 하는게 이해가안되서..
저기 T|R(T)가 제가 알기론 T-불변에 관한 기호인데,
그거가 왜 전단사함수인지 어떻게 증명하고 그런거 써주시면 감사하겠습니다
원래 이렇게 문제 그냥 질문하는거 안하는데
너무 어려워서 눈무ㄹ이 날려합니다
간략하게 아이디어만 서술해주실수있나요
차원이 같다같다같다 하는게 이해가안되서..
저기 T|R(T)가 제가 알기론 T-불변에 관한 기호인데,
그거가 왜 전단사함수인지 어떻게 증명하고 그런거 써주시면 감사하겠습니다
원래 이렇게 문제 그냥 질문하는거 안하는데
너무 어려워서 눈무ㄹ이 날려합니다
(1) R(T)는 T-inv입니다. R(T)의 원소 Tv에 대해 T(Tv)가 여전히 R(T)의 원소이기 때문입니다 (2) finite dimensional vector space에서의 linear transformation이 injective, surjective, bijective가 모두 동치조건입니다
이 증명은 선대책 초반부에 나오고 절대 자명하지 않으면서 매우 중요한 정리라 책에서 어떻게 증명했나 다시 찾아보길 권합니다
이제 T|R(T)가 bijection인거 까지 나왔으니 N(T|R(T))가 0이 나옵니다. 헌데 만약 N(T) cap R(T)가 0이 아닌 원소 T(v)를 갖는다면 (T|R(T))(T(v)) = T(T(v)) = 0이기 때문에 T(v)는 N(T|R(T))의 원소고 따라서 T(v) = 0이 되기 때문에 모순입니다
Deduce that 이후로 direct sum을 보이려면 (i) 교집합이 0이다 (ii) 덧셈이 V가 된다를 보여야합니다. (i)은 위에서 보인거고 (ii) R(T) + N(T) = V가 된다는걸 보이고 싶은데, 첨부한 풀이에서는 dimension을 이용한 증명을 했네요. W가 V의 subspace고 dim W = dim V면 W = V라는 정리를 사용했
습니다. 이것도 자명하지 않은 정리니 어떻게 증명했나 잘 기억이 안나면 앞부분 다시 돌아가서 찾아보세요. 이제 W = R(T) + N(T)의 dimension을 계산해줄텐데, 이 dimension을 계산하는 방법이 마지막줄에 나와있습니다. 어렵지 않은 식이기 따라가서 읽어보세요
와 이해해버렸습니다 선대 독학하고있는데, 지금5장 초반부까지보고 복습하고있습니다 연습문제가 계속 연관되는걸 보니 모든 연습문제를 다 꼼꼼히 짚고 넘어가야겠네요 복받으세요 ㅠㅠ
T^2(x) = T(T(x)) 이므로 U = T를 R(T)로 축소한 선형변환이라고 하면 U(x) = T^2(x). 그러므로 rankU = rankT^2 따라서 rankT^2 + nullity T^2 = rankT 이고, 문제의 가정에 의해 nullityT^2 = 0 이제 R(T)와 N(T)의 교집합이 영공간의 부분공간임을 보이면 됨.
아 U(x) = T^2(x) 는 아님 왜 이렇게 썼지.. 저부분만 빼고 읽으셈
U: R(T)->R(T)인 함수니까 U는 T^2는 아니지만 대충 비슷하고(정의역이 다름) rank(U)+nullity(U)=dim(U)=rank(T) nullity(U)는 nullity(T^2)과 같아져서 rank(T^2) +nillity(T^2)=rank(T)가되네요 따라서 N(T^2)=0 T^2는 단사 ..까지 갈 필요없이 만약 교집합에
영이 아닌 벡터x가 있다면 T^2(y)=0이니까 y=0 x=0 모순 답지 풀이와 다르지만 이것도 되게 직관적이고 좋은 풀이라 이걸로 공부하는게 편한것같네요 감사합니다 진짜